4. यदि $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x-4, & \text { जबकि } x \geq 5 \\ 5 x-24, & \text { जबकि } x<5\end{array}\right.$ तो दर्शाइए कि $f(x), x=5$ पर एक संतत् फलन है।
6. क्या $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \text { यदि } x \leq 1 \\ 5, \text { यदि } x>1\end{array}\right.$ द्वारा परिभाषित फलन $f, x=0, x=1$ तथा $x=2$ पर संतत है ?
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
7. $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin ^2 a x}{x^2}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \text { पर। }\end{array}\right.$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
8. $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \text { पर। }\end{array}\right.$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
9. $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{|x-3|}{x-3}, & x \neq 3 \\ 0, & x=3 .\end{array}\right.$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
10. $f(x)= \begin{cases}3, & \text { यदि } 0 \leq x \leq 1 \\ 4, & \text { यदि } 1<x<3 \\ 5, & \text { यदि } 3 \leq x \leq 10\end{cases}$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
11. $f(x)= \begin{cases}2 x, & \text { यदि } x<0 \\ 0, & \text { यदि } 0 \leq x \leq 1 \\ 4 x, & \text { यदि } x>1\end{cases}$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
12. $f(x)= \begin{cases}-2, & \text { यदि } x \leq-1 \\ 2 x, & \text { यदि }-1<x \leq 1 \\ 2, & \text { यदि } x>1\end{cases}$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
13. $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{1-e^{1 / x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \text { पर। }\end{array}\right.$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
14. $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-4}{x-2}, & x \neq 2 \\ 4, & x=2 \text { पर। }\end{array}\right.$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
15. $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+3, \text { यदि } x \leq 2 \\ 2 x-3, \text { यदि } x>2\end{array}\right.$
$x=2$ पर संतत नहीं है।
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
16. $f(x)= \begin{cases}|x|+3, & \text { यदि } x \leq-3 \\ -2 x, & \text { यदि }-3<x<3 \\ 6 x+2, & \text { यदि } x \geq 3\end{cases}$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
17. $f(x)= \begin{cases}\frac{|x|}{x}, & \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text { यदि } x=0\end{cases}$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
18. $f(x)= \begin{cases}\frac{x}{|x|}, & \text { यदि } x<0 \\ -1, & \text { यदि } x \geq 0\end{cases}$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
19. $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, \text { यदि } x \geq 1 \\ x^2+1, \text { यदि } x<1\end{array}\right.$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
20. $f(x)= \begin{cases}x^3-3, & \text { यदि } x \leq 2 \\ x^2+1, & \text { यदि } x>2\end{cases}$
$f$ के सभी सांतत्य और असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :
21. $f(x)= \begin{cases}x^{10}-1, & \text { यदि } x \leq 1 \\ x^2, & \text { यदि } x>1\end{cases}$
22. $f(x)=\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x-1}, x \neq 1$ है। $f(1)$ को क्या मान दिया जाय कि $x=1$ पर $f(x)$ संतत हो जाय ?
23. यदि $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3+x^2-16 x+20}{(x-2)^2}, & x \neq 0 \\ k, & x=0\end{array}\right.$ तथा $f(x), x$ के समस्त वास्तविक मानों के लिए संतत हों तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
24. $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text { यदि } 0<x<1 \\ x, & \text { यदि } 1 \leq x<2 \\ \frac{x^3}{4}, & \text { यदि } 2 \leq x<3\end{array}\right.$ बिन्दु $x=1$ तथा $x=2$ पर फलन की संततता ज्ञात कीजिए।
25. क्या $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+5, \text { यदि } x \leq 1 \\ x-5, \text { यदि } x>1\end{array}\right.$ द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
26. $a$ और $b$ के बीच संबंध को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x+1, \text { यदि } x \leq 3 \\ b x+3 \text {, यदि } x>3\end{array}\right.$ द्वारा परिभाषित फलन $x=3$ पर संतत है।
$\lambda$ के किस मान के लिए $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda\left(x^2-2 x\right), & \text { यदि } x \leq 0 \\ 4 x+1, & \text { यदि } x>0\end{array}\right.$ द्वारा परिभाषित फलन $x=0$ पर संतत है। $x=1$ पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
28. $f$ के सभी असांतत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ $f(x)= \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text { यदि } x<0 \\ x+1, & \text { यदि } x \geq 0\end{cases}$
29. निर्धारित कीजिए कि फलन $f, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{x}, & \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text { यदि } x=0\end{array}\right.$ द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
30. $f$ के सांतत्य की जाँच कीजिए, जहाँ $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है $f(x)= \begin{cases}\sin x-\cos x, & \text { यदि } x \neq 0 \\ -1, & \text { यदि } x=0\end{cases}$
31. यदि $f(x)=x^2+1$, जब $x \neq 1$ तथा $f(x)=3$ जब $x=1$, तो ज्ञात कीजिये कि $f(x)$ बिन्दु $x=1$ पर संतत् है अथवा असंतत्।
32. दिखाइए कि $f(x)=|x-20|, x=20$ पर संतत फलन है तथा $f(x)$ का कोई अस्तित्व नहीं है।
33. फलब $f(x)$ की $x=1$ पर सांतत्य का परीक्षण कीजिए जब $f(x)= \begin{cases}1+x^2, & \text { यदि } 0 \leq x \leq 1 \\ 1-x, & \text { यदि } x>1 .\end{cases}$
प्रश्न 34 से 37 में $k$ के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिन्दु पर संतत हो :
34. $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{k \cos x}{\pi-2 x}, & \text { यदि } x \neq \frac{\pi}{2} \\ 3, & \text { यदि } x=\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$ द्वारा परिभाषित फलन $x=\frac{\pi}{2}$ पर
35. $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}k x^2, & \text { यदि } x \leq 2 \\ 3, & \text { यदि } x>2\end{array}\right.$ द्वारा परिभाषित फलन $x=2$ पर
36. $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}k x+1, & \text { यदि } x \leq \pi \\ \cos x, & \text { यदि } x>\pi\end{array}\right.$ द्वारा परिभाषित फलन $x=\pi$ पर।
37. $f(x)=\left\{\begin{array}{l}k x+1, \text { यदि } x \leq 5 \\ 3 x-5, \text { यदि } x>5\end{array}\right.$ द्वारा परिभाषित फलन $x=5$ पर।
38. दर्शाइए कि $g(x)=x-[x]$ द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को निरुपित करता है, जो $x$ के बराबर या $x$ से कम है।
44. दर्शाइए कि $f(x)=|\cos x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
45. जाँचिए कि क्या $\sin |x|$ एक संतत फलन है।
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