प्रश्नावली - 3C
Question 1
1. निम्नलिखित आव्यूहों के परिवर्त (transpose) आव्यूह ज्ञात कीजिए-
(A) $\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 2 & 1 \\ 0 & 3\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{c}5 \\ \frac{1}{2} \\ -1\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 5\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 2 & -3\end{array}\right]$
(E) $\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \\ 4 & 1 & 2\end{array}\right]$
(F) $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1\end{array}\right]$
Question 2
2. यदि $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 3 & 1\end{array}\right]$ तथा $B=\left[\begin{array}{ll}5 & 7 \\ 2 & 0\end{array}\right]$, तो सिद्ध कीजिए कि $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$.
Question 3
3. यदि $A^{\prime}=\left[\begin{array}{rr}3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ तथा $B=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]$ है, तो सत्यापित कीजिए :
(i) $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$
(ii) $(A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}$
Question 4
4. यदि $A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 4 & -1 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rrr}3 & 4 & 5 \\ -1 & 2 & 7 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right]$, तो सिद्ध कीजिए कि $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$.
Question 5
5. यदि $A^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}-2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ तथा $B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ हैं तो $(A+2 B)^{\prime}$ ज्ञात कीजिए।
Question 6
6. यदि $A=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 7 & 6\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 4 & 3\end{array}\right]$, तो सत्यापित कीजिए कि :
(i) $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$
(ii) $(A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}$.
Question 7
(i) $A=\left[\begin{array}{c}1 \\ -4 \\ 3\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1\end{array}\right]$
(ii) $A=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}1 & 5 & 7\end{array}\right]$
Question 8
8. यदि $A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]$ तथा $B=\left[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right]$ है, तो सत्यापित कीजिए कि-
(i) $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$
(ii) $(A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}$.
Question 9
9. यदि $A^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right]$ हो, तो $(A+2 B)^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Question 10
10. यदि $A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4\end{array}\right]$, तो $A A^{\prime}$ तथा $A^{\prime} A$ ज्ञात कीजिए।
Question 11
11. (i) यदि $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$ हो, तो सत्यापित कीजिए कि $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}=\mathrm{I}$.
(ii) यदि $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha\end{array}\right]$ हो, तो सत्यापित कीजिए कि $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}=\mathrm{I}$.
Question 12
12. (i) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3\end{array}\right]$ एक सममित आव्यूह है।
12. (ii) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]$ एक विषम सममित आव्यूह है।
Question 13
13. आव्यूह $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right]$ के लिए सत्यापित कीजिए कि
(i) $\left(\mathrm{A}+\mathrm{A}^{\prime}\right)$ एक सममित आव्यूह है।
(ii) $\left(\mathrm{A}-\mathrm{A}^{\prime}\right)$ एक विषम सममित आव्यूह है।
Question 14
14. यदि $A=\left[\begin{array}{rrr}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$ तो $\frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)$ तथा $\frac{1}{2}\left(\mathrm{~A}-A^{\prime}\right)$ ज्ञात कीजिए।
Question 15
15. निम्नलिखित आव्यूहों को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) $\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]$
(ii) $\left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$
(iii) $\left[\begin{array}{ccc}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$
(iv) $\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$.
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