प्रश्नावली - 5K
1. फलन $f(x)=x^2$ के लिए अन्तराल $[-1,1]$ में रोले-प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
2. फलन $f(x)=x^2+2 x-8, x \in[-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
3. फलन $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3), x \in[1,3]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
4. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं ?
(i) $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$
(iii) $f(x)=x^2-1$ के लिए $x \in[1,2]$
(ii) $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$
5. $f(x)=\tan x$ के लिए रोले-प्रमेय के प्रतिबन्धों की व्याख्या कीजिए, जबकि $0 \leq x \leq \pi$.
6. यदि $f:[-5,5] \rightarrow {R}$ एक संतत फलन है और यदि $f^{\prime}(x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि $f(-5) \neq f(5)$.
7. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अन्तराल $[a, b]$ में $f(x)=3 x^2-2$, जहाँ $a=2$ तथा $b=3$ है।
8. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)=x^2-4 x-3$, जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।
9. फलन $f(x)=x^2-6 x+8$ के लिए अन्तराल $[2,4]$ में रोले-प्रमेय का सत्यापन/कीजिए।
10. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)=x^3-5 x^2-3 x$, जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f^{\prime}(c)=0$ के लिए $c \in(1,3)$ को ज्ञात कीजिए।
11. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अन्तराल $[a, b]$ में $f(x)=\frac{1}{4 x-1}$, जहाँ $a=1$ तथा $b=4$ है ।
12. अन्तराल $[1,2]$ में फलन $f(x)=2 x^2+3 x+4$ हेतु माध्यमान प्रमेय से $c$ का मान ज्ञात कीजिए।
13. अन्तराल $[2,4]$ में फलन $f(x)=x^2$. के लिए माध्यमान प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
14. निम्नलिखित के लिए माध्यमान प्रमेय का $c$ प्राप्त करें-
(i) $f(x)=\sqrt{25-x^2},[1,5]$ पर
(ii) $f(x)=x^2-2 x+4$, बिन्दु $[1,5]$ पर।
15. $f(x)=x^3$ का अन्तराल $-2 \leq x \leq 2$ में लैय्यांज की माध्यमान प्रमेय की विवेचना कीजिए।
16. प्रश्न संख्या 4 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
(i) $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$
(iii) $f(x)=x^2-1$ के लिए $x \in[1,2]$
(ii) $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$
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