प्रश्नावली - 1G
Question 1
(i) मान लीजिए कि समुच्चय $\{1,2,3,4\}$ में, ${R}=\{(1,2),(2,2),(1,1),(4,4),(1,3),(3,3),(3,2)\}$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$ है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए :
(A) R स्वतुल्य तथा सममित है किंतु संक्रमक नही है।
(B) R स्वतुल्य तथा संक्रमक है किंतु समझित बही है।
(C) R सममित तथा संक्रमक है किंतु स्वतुल्य नहीं है।
(D) R एक तुल्यता संबंध है।
(ii) मान लीजिए कि समुच्चय N में, ${R}=\{(a, b): a=b-2, b>6\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए :
(A) $(2,4) \in {R}$
(B) $(3,8) \in R$
(C) $(6,8) \in R$
(D) $(8,7) \in {R}$
Question 2
सिद्ध कीजिए कि R में ${R}=\{(a, b): a \leq b\}$ द्वारा पारेभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रमक हैं किन्तु सममित नहीं है।
Question 3
दिखाओ कि धन पूर्णाकों में सम्बन्ध 'से बड़ा है' संक्रमक है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न सममित।
Question 4
सिद्ध कीजिए कि R में ${R}=\{(a, b): a \leq b^3\}$ द्वारा परिभाषित सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रमक नहीं है ?
Question 5
दिखाओ कि धन पूर्णांकों में ‘विभाज्यता’ सम्बन्ध स्वतुल्य और संक्रमक है किन्तु सममित नही है।
Question 6
सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में ${R}=\{(x, y): x$ और $y$ में पेजों की संख्या समान है\} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है।
Question 7
निम्नलिखित के उदाहरण दो-
(i) सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रमक हो।
(ii) स्वतुल्य तथा संक्रमक हो किन्तु सममित न हो।
(iii) सममित तथा संक्रमक हो किन्तु स्वतुल्य न हो।
(iv) एक सम्बन्ध जो स्वतुल्य तथा सममित हो किन्तु संक्रमक न हो।
(v) एक सम्बन्ध जो संक्रमक हो किन्तु न तो सममित हो और न स्वतुल्य।
Question 8
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित सम्बन्धों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित और संक्रमक हैं :
(i) समुच्चय ${A}=\{1,2,3$, $13,14\}$ में सम्बन्ध R , इस प्रकार परिभाषित है कि ${R}=\{(x, y): 3 x-y=0\}$.
(ii) समुच्चय ${A}=\{1,2,3,4,5,6\}$ में ${R}=\{(x, y)$ : $y$ भाज्य है $x$ से $\}$ द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है।
(iii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में ${R}=\{(x, y): y=x+5$ तथा $x<4\}$ द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R .
(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में ${R}=\{(x, y): x-y$ एक पूर्णांक है $\}$ द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R .
(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित सम्बन्ध R :
(a) ${R}=\{(x, y): x$ तथा $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं $\}$
(b) ${R}=\{(x, y): x$ तथा $y$ एक ही मोहल्ले में रहते है $\}$
(c) ${R}=\{(x, y): x, y$ से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है $\}$
(d) ${R}=\{(x, y): x, y$ की पत्बी है $\}$
(e) ${R}=\{(x, y): x, y$ के पिता है $\}$
Question 9
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में $R=\{(a, b): a \leq b^2\}$, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध $R$, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रमक है।
Question 10
दिखाओ कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में सम्बन्ध $a R b$ जो $|a|=|b|$ से परिभाषित है 'तुल्यता’ सम्बन्ध है।
Question 11
देखाओ कि समतल में स्थित सभी बिन्दुओं का समुच्चय सम्बन्ध 'मूलबिन्दु से उतनी ही दूरी पर हैं जितनी कि बिन्दु $x$ ', तुल्यता सम्बन्ध है।
Question 12
$N$ धन पूर्ण संख्याओं का समुच्चय है और $N$ में सम्बन्ध $R$ इस प्रकार परिभाषित है कि $(x-y), 3$ से विभाज्य है $x, y \in N$, तो सिद्ध कीजिये कि $R$ तुल्यता सम्बन्ध है।
Question 13
यदि $R$ और $S$, समुच्चय $X$ में तुल्यता सम्बन्ध हो, तो सिद्ध कीजिए कि $R \cup S, R \cap S$ भी $X$ में तुल्यता सम्बन्ध है।
Question 14
जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय $\{1,2,3,4,5,6\}$ में ${R}=\{(a, b): b=a+1\}$ द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य, सममित या संक्रमक है।
Question 15
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\{1,2,3\}$ में ${R}=\{(1,2),(2,1)\}$ द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रमक है।
Question 16
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय ${A}=\{x \in {Z}: 0 \leq x \leq 12\}$, में दिए गए निम्नलिखित संबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है :
(i) $R=\{(a, b):|a-b|, 4$ का एक गुणज है। $\}$
(ii) $R=\{(a, b): a=b\}$,
प्रत्येक दशा में 1 संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
Question 17
सिद्ध कीजिए कि ${A}=\{1,2,3,4,5\}$ में, ${R}=\{(a, b):|a-b|$ सम है $\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि $\{1,3,5\}$ के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय $\{2,4\}$ के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं परंतु $\{1,3,5\}$ का कोई भी अवयव $\{2,4\}$ के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।
Question 18
सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में, $R=\{(P, Q)$ : बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है\} द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु $P \neq(0,0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय $P$ से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।
Question 19
सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय $A$ में, $R=\{(T_1, T_2): T_1, T_2.$ के समरूप है $\}$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं $3,4,5$ वाले समकोण त्रिभुज $T_1$ भुजाओं $5,12,13$ वाले समकोण त्रिभुज $T_2$ तथा भुजाओं 6,8 , 10 वाले समकोण त्रिभुज $T_3$ पर विवार कीजिए। $T_1, T_2$ और $T_3$ में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं ?
Question 20
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय $A$ में, $R=\{(P_1, P_2): P_1.$ तथा $P_2$ की भुजाओं की संख्या समान है $\}$ प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3,4 , और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Question 21
मान लीजिए कि X-Y तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में ${R}=\{({L}_1, {~L}_2): {L}.$ समान्तर है ${L}_2$ के $\}$ द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा $y=2 x+4$ से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
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