प्रश्नावली - 8A
निम्नलिखित वक्रों, $x$-अक्ष और दी हुई कोटियों द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात कीजिए :
1. $y=x, x=-1$ और $x=2$.
2. $y=x \sin x, x=0$ से $2 \pi$ तक।
3. $x y=b^2, x=a$ से $x=b$ तक।
4. वक्र $y^2=x$, रेखाओं $x=1, x=4$ एवं $x$-अक्ष से घिरे क्षेत्र का प्रथम पाद में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
5. प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y^2=9 x, x=2, x=4$ एवं $x$-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
6. प्रथम चतुर्थांश में $x^2=4 y, y=2, y=4$ एवं $y$-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
7. दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
8. दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
9. सरल रेखा $y=m x, x$-अक्ष तथा कोटि $x=3$ के अन्तर्गत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
10. परवलय $x^2=4 a y, x$-अक्ष और कोटि $x=c$ के अन्तर्गत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
11. परवलय $y^2=4 a x$ के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो $x$-अक्ष, कोटि $x=2 a$ तथा नाभिलम्ब से घिरा हुआ है।
12. वृत्त $x^2+y^2=4 a^2$, रेखा $x=a$ के द्वारा दो भागों में विभाजित किया जाता है। दोनों भागों के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
13. यदि वक्र $x=y^2$ एवं रेखा $x=4$ से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा $x=a$ द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है। तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
14. प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^2+y^2=4$, रेखा $x=\sqrt{3} y$ एवं $x$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
15. छेदक रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
16. परवलय $y=x^2$ एवं $y=|x|$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
17. वक्र $y^2=4 x$ एवं रेखा $x=3$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
18. साइक्लाइड (cycloid) $x=a(\theta-\sin \theta), y=a(1-\cos \theta)$ के लिए वक्र एवं आधार से घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात कीजिए।
19. वक्र $a^2 y^2=x^3(2 a-x)$ का सम्पूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
20. वक्र $y^2=2 y-x$ तथा $y$-अक्ष से परिबबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
21. वक्र $a^3 y^2=x^4(b+x)$ की लूप (loop) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
22. प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y=4 x^2$ तथा $x=0, y=1$ तथा $y=4$ के अन्तर्गत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
23. सिद्ध कीजिए कि अतिपरवलय $x^2-y^2=a^2$ तथा रेखा $x=a$ तथा $x=2 a$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $2 \sqrt{3} a^2-a^2 \log (2+\sqrt{3})$ वर्ग इकाई होगा।
24. वक्र $y=\cos x$ तथा $x$-अक्ष के मध्य क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो $x=0$ से $x=2 \pi$ के मध्य स्थित है।
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