Dr.Harswaroop Sharma Mathematics Solution Class 12 Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives) Exercise 6C

   

प्रश्नावली - 6C

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Question 1

1. निम्नलिखित वक्रों के सम्मुख दिये बिन्दुओं पर उन वक्रों की स्पर्श रेखाओं की प्रवणता (ढाल) ज्ञात कीजिए-
(a) वक्र $y=x^2-2 x+5$ के बिन्दु $(5,4)$ पर
(b) वक्र $y^2=6 x$ के बिन्दु $(2,3)$ पर
(c) वक्र $y=3 x^4-4 x$ के बिन्दु $x=4$ पर
(d) वक्र $x^2+y^2=13$ के बिन्दु $(2,3)$ पर

(e) वक्र $y=\frac{x-1}{x-2}, x \neq 2$ के बिन्दु $x=10$ पर।

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Question 2

2. निम्नलिखित वक्रों के सम्मुख दिये बिन्दुओं पर प्रत्येक स्पर्श रेखा के लिए आनति या द्रुकाव ज्ञात कीजिए-
(a) वक्र $y=2 x^2-5$ के उस बिन्दु पर, जहाँ $x=1$
(b) वक्र $2 x^2+3 y^2=10$ के बिन्दु $(4,6)$ पर

(c) वक्र $x^2-2 y^2=8$ के उन बिन्दुओं पर, जठाँ $y=2$

(d) वक्र $y=(x-1)(x-2)$ के बिन्दु $(1,0)$ और $(2,0)$ पर

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Question 3

3. निम्नलिखित वक्रों के सम्मुख दिये उन बिन्दुओं पर उन वक्रों की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए-
(a) वक्र $y^2-7 x-8 y+4=0$ के बिन्दु $(2,0)$ पर
(b) वक्र $y=x^2-4 x-5$ के बिन्दु $x=-2$ पर
(c) $y=e^x$ के बिन्दु $(0,1)$ पर

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Question 4

निम्नलिखित वक्रों के प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए-
(a) $y^2=x$ और $x^2=y$
(b) $x^2+y^2=\sqrt{2} a^2$ और $x^2-y^2=a^2$
(c) $2 y^2=x^3$ और $y^2=32 x$
(d) $y=x^2$ और $y=x^3$
Sol :

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Question 5

5. वक्र $y=x^2+7 x+3$ के किस बिन्दु पर स्पर्श रेखा की ढल 7 होगी ?

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Question 6

6. प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए कि वक्र $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ और $\frac{x^2}{a^{\prime 2}}+\frac{y^2}{b^{\prime 2}}=1$ एक-दूसरे को समकोण पर काट्ते हैं।

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Question 7

7. वक्र $y=x^3-x+1$ की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका $x$-विर्देशांक 2 है।

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Question 8

8. वक्र $y=x^3-3 x+2$ की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका $x$-विर्देशांक 3 है।

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Question 9

9. वक्र $y=x^3-3 x^2-9 x+7$ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के समान्तर हैं।

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Question 10

10. वक्र $y=(x-2)^2$ पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा, बिन्दुओं $(2,0)$ और $(4,4)$ को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।

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Question 11

11. निम्न वक्रों में प्रत्येक पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष पर लम्ब हैं :
(a) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
(b) $y^2=x^2(1-x)$

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Question 12

12. वक्र $x^2-2 x y+y^2+2 x+y=0$ के बिन्दु $(2,2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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Question 13

13. वक्र $y=x^3-11 x+5$ पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा $y=x-11$ है।

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Question 14

14. प्रवणता -1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=\frac{1}{x-1}, x \neq 1$ को स्पर्श करती है।

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Question 15

15. प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=\frac{1}{x-3}, x \neq 3$ को स्पर्श करती है।

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Question 16

16. प्रवणता 0 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=\frac{1}{x^2-2 x+3}$ को स्पर्श करती है।

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Question 17

17. सिद्ध कीजिए कि वक्र $x^2+y^2=1$ और $y^2=4(x-1)$ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।

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Question 18

18. वक्र $x=a(2 \cos t-\cos 2 t)$ तथा $y=a(2 \sin t-\sin 2 t)$ के ' $t$ ' बिन्दु पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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Question 19

19. वक्र $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ (i) $x$-अक्ष के समान्तर हैं, (ii) $y$-अक्ष के समान्तर हैं।

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Question 20

20. सिद्ध कीजिए कि वक्र $\frac{x^2}{a^2+k_1}+\frac{y^2}{b^2+k_1}=1$ तथा $\frac{x^2}{a^2+k_2}+\frac{y^2}{b^2+k_2}=1$ एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं ।