Dr.Harswaroop Sharma Mathematics Solution Class 12 Chapter 10 सदिश बीजगणित (Vector Algebra) Exercise 10E

    

    

प्रश्नावली - 10E

अति लघु उत्तरीय प्रश्न:

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Question 1

1. यदि $a=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$ तो
(i) $|\vec{a} \times \vec{b}|$
(ii) $\vec{b} \times \vec{a}$ तथा $|\vec{b} \times \vec{a}|$
(iii) इसके बीच का कोण तथा (iv) इन पर लम्ब इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

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Question 2

2. (i) दर्शाइए कि $(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b})$.
(ii) $\lambda$ और $\mu$ ज्ञात कीजिए, यदि $(2 \hat{i}+6 \hat{j}+27 \hat{k}) \times(\hat{i}+\lambda \hat{j}+\mu \hat{k})=\overrightarrow{0}$

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Question 3

3. यदि $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{c}=6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ हो, तो सिद्ध करो : $\vec{a} \times \vec{b}=7 \vec{c}$.

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Question 4

4. यदि $\vec{a}=\hat{i}-7 \hat{j}+7 \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ तो $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ज्ञात कीजिए।

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Question 5

5. दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ मात्रक सदिशों के पद्रों में निम्नवत् व्यक्त किये गये हैं-
$\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k}$
उपर्युक्त सदिशों के लम्बवत् मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

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Question 6

6. सदिशों $\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ तथा $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ के लम्बवत् इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

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Question 7

7. सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ की लंब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ $\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।

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Question 8

8. दिखाओ कि उस त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसकी दो आसन्न भुजाएँ सदिश $\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}$ और $\vec{b}=-5 \hat{i}+7 \hat{j}$ से प्रकट होती हैं, $20 \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई है।

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Question 9

9. किसी त्रिभुज के शीर्षों के विर्देशांक $\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $-\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ हैं तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात करो।

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Question 10

10. (i) सिद्ध कीजिए किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक $A(1,-1,2), B(2,1,-1), C(3,-1,2)$ हैं, तो इसका क्षेत्रफल $\sqrt{13}$ वर्ग इकाई होगा।
(ii) एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $A(1,1,2), B(2,3,5)$ और $C(1,5,5)$ हैं।

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Question 11

11. सिद्ध करो कि उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ $3 \hat{i}+4 \hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं, $\sqrt{26}$ वर्ग इकाई है।

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Question 12

12. सिद्ध करो कि उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $-3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं, $6 \sqrt{5}$ वर्ग इकाई है।

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Question 13

13. सिद्ध करो कि उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ $3 \hat{i}-\hat{k}$ तथा $\hat{i}+2 \hat{j}$ हैं, $\sqrt{41}$ वर्ग इकाई है।

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Question 14

14. एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}-7 \hat{j}+\hat{k}$ द्वारा निर्धारित हैं।

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Question 15

15. उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो आसन्न भुजाएँ $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।

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Question 16

16. यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$, तो सिद्ध कीजिये कि
$\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}$

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Question 17

17. यदि एक मात्रक सदिश $\vec{a}, \hat{i}$ के साथ $\frac{\pi}{3}, \hat{j}$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ और $\hat{k}$ के साथ एक न्यून कोण $\theta$ बनाता है तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से $\vec{a}$ के घटक भी ज्ञात कीजिए।

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Question 18

18. सिद्ध कीजिए $|\hat{i} \times \vec{a}|^2+|\hat{j} \times \vec{a}|^2+|\hat{k} \times \vec{a}|^2=2|\vec{a}|^2$.

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Question 19

19. दिया हुआ है कि $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ और $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं ?

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Question 20

20. मान लीजिए सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ क्रमशः $a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}, b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}, c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k}$ के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए कि $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}$.

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Question 21

21. यदि $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ अथवा $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ तब $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}$ होता है। क्या विलोम सत्य है ? उदाहरण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

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Question 22

22. किसी त्रिभुज $A B C$ में $B C, C A, A B$ के मध्य बिन्दु $D, E, F$ हैं। सदिश विधि का प्रयोग कर सिद्धि करें कि$\triangle D E F=\triangle F C E=\frac{1}{4} \triangle A B C$