प्रश्नावली - 1I
यदि $S=\{a, b, c, d, e, f, g\}$, तो ज्ञात करो कि निम्नलिखित समुच्चय $S$ के विभाग समुच्चय हैं या बही-
Question 1
$\{A_1=\{a, c, e\}, A_2=\{b\}, A_3=\{d, g\}\}$.
Question 2
$\{B_1=\{a, e, g\}, B_2=\{c, d\}, B_3=\{b, e, f\}\}$.
Question 3
$\{C_1=\{a, b, e, g\}, C_2=\{c\}, D_1=\{d, f\}\}$
Question 4
4. यदि $X=\{2,3,4,5\}, Y=\{x, y, z\}$ और
$2 \leftrightarrow x, 3 \leftrightarrow y, 4 \leftrightarrow y, 5 \leftrightarrow z, $
तो दिखाओ कि यह बहु-एक आच्छादक प्रतिचित्रण है।
Question 5
5. सिद्ध कीजिये कि $f: R \rightarrow R$, जहाँ $f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0 ; x \in R$ एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है।
Question 6
6. क्या $f(x)=2 x, x \in N$ से परिभाषित प्रतिवित्रण $f: N \rightarrow N$ 'आय्छदक' है अयवा 'अन्तर्क्षपी' है, जहाँ पर $N$ धन पूर्ण संख्याओं का समुच्वय है ?
Question 7
7. यदि $I=$ पूर्णांकों का समुच्चय और $f: I \rightarrow I$, तो निम्नलिखित प्रतिवित्रण की जाँच करो— $x \in I$
(i) $f(x)=x^3$,
(ii) $f(x)=x+1$,
(iii) $f(x)=2 x+3$,
(iv) $f(x)=x-5$,
(v) $f(x)=x+x^2$,
(vi) $f(x)=5 x$
Question 8
8. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित फलन $f: \mathrm{R}_{\bullet} \rightarrow \mathrm{R}$, एकैकी तथा आच्छदक है, जहाँ R, सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत $R_{\bullet}$ को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत $\mathrm{R}_{\text {. }}$ ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा ?
Question 9
9. निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छदी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :
(i) $f(x)=x^2$ द्वारा प्रदत्त $f: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}$ फलन है।
(ii) $f(x)=x^2$ द्वारा प्रदत्त $f: \mathrm{Z} \rightarrow \mathrm{Z}$ फलब है।
(iii) $f(x)=x^2$ द्वारा प्रदत्त $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ फलन है।
(iv) $f(x)=x^3$ द्वारा प्रदत्त $f: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}$ फलन है।
(v) $f(x)=x^3$ द्वारा प्रदत्त $f: \mathrm{Z} \rightarrow \mathrm{Z}$ फलन है ।
Question 10
10. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $[x]$, $x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
Question 11
11. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=|x|$ द्वारा प्रदत्त मापांक फलब $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$, न तो एकैकी है और ज आम्छदक है, जहाँ $|x|$ बराबर $x$, यदि $x$ धन या शून्य है तथा $|x|$ बराबर $-x$, यदि $x$ ॠण है।
Question 12
12. सिद्ध कीजिए कि $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$,
$f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, \text { यदि } x>0 \\ 0, \text { यदि } x=0 \\ -1, \text { यदि } x<0,\end{array}\right.$
द्वारा प्रदत्त विहन फलन ब तो एकैकी है और न आच्छादक है।
Question 13
13. मान लीजिए कि $\mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{4,5,6,7\}$ तथा $f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\} \mathrm{A}$ से B तक एक फलन है । सिद्ध कीजिए कि $f$ एकैकी है।
Question 14
14. यदि R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हो और समुच्चय
$X=\{x: x \in R$ और $x \neq 0$ या $x \in R-[0]\}$,
तो सिद्ध करो कि प्रतिवित्रण $f: X \rightarrow Y$ जो $Y=f(x)=\frac{1}{x}$ से परिभाषित है, एकैकी और आक्छादक है।
Question 15
15. बताओ निम्नलिखित प्रतिचित्रण अन्तर्क्षपी या आच्छदक हैं ? डोकेन और रेंज को बताते हुए यह भी बताओ कि क्या वे एकैकी हैं या बहु-एक; $x$ धन राशि है-
(i) $y=\log x$,
(ii) $y=\sqrt{x}$,
(iii) $y=\tan x$.
Question 16
16. $X$ सभी त्रिभुजों का समुच्चय है और $Y$ धन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, तो सिद्ध करो कि प्रतिचित्रण $f: X \rightarrow Y$ जहॉँ $f(\Delta)$ = त्रिभुजों का क्षेत्रफल $(\Delta \in X)$, बहु-एक आच्छदक है।
Question 17
17. यदि $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा प्रतिचित्रण $f: R \rightarrow R, f(x)=e^x, x \in R$ द्वारा परिभाषित है, तो सिद्ध कीजिये कि $f$ एकैकी प्रतिचित्रण है।
Question 18
18. यदि $X=\{2,3,4,5\}, Y=\{x, y, z\}$ तो कारण सहित सिद्ध कीजिए कि यह बहु-एक आव्छादक प्रतिचित्रण है।
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Question 19
19. मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं । सिद्ध कीजिए कि $f: \mathrm{A} \times \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{B} \times \mathrm{A}$, इस प्रकार कि $f(a, b)=(b, a)$ एक एकैकी आच्छदी (bijective) फलन है।
Question 20
मान लीजिए कि समस्त $n \in \mathrm{~N}$ के लिए,
$f(n)=\left\{\begin{array}{l}\frac{n+1}{2}, \text { यदि } n \text { विषम है } \\ \frac{n}{2}, \text { यदि } n \text { सम है }\end{array}\right.$
द्वारा परिभाषित एक फलब $f: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}$ है। बतलाइए कि क्या फलन $f$ एकैकी आम्छदी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
Question 21
21. मान लीजिए कि $\mathrm{A}=\mathrm{R}-\{3\}$ तथा $\mathrm{B}=\mathrm{R}-\{1\}$ हैं। $f(x)=\left(\frac{x-2}{x-3}\right)$ द्वारा परिभाषित फलन $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ पर विचार कीजिए। क्या $f$ एकैकी तथा आच्छादक है ? अपके उत्तर का औवित्य भी बतलाइए।
Question 22
22. निम्बलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आम्छदक अथवा एकैकी आव्छदी हैं। अपने उत्तर का औवित्य भी बतलाइए।
(i) $f(x)=3-4 x$ द्वारा परिभाषित फलन $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ है।
(ii) $f(x)=1+x^2$ द्वारा परिभाषित फलब $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ है।
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