Dr.Harswaroop Sharma Mathematics Solution Class 12 Chapter 10 सदिश बीजगणित (Vector Algebra) Exercise 10D

   

    

प्रश्नावली - 10D

अति लघु उत्तरीय प्रश्न:

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Question 1

1. $(\vec{a}+3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}-\vec{b})$ ज्ञात कीजिए, यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ तथा $\vec{b}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$.

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Question 2

2. यदि सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+\lambda \hat{j}+\hat{k}$ तथा $\vec{b}=4 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$ एक दूसरे के लम्बवत् हों, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Question 3

3. $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ तथा $\vec{b}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ का अदिश गुणनफल तथा उनके बीच का कीण ज्ञात कीजिए।

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Question 4

4. सदिशों $3 \hat{i}+4 \hat{j}-7 \hat{k}$ तथा $5 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।

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Question 5

5. यदि $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ और $\vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$, तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के परस्पर लम्ब होने का प्रतिबन्ध लिखिए।

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Question 6

6. दो सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के परिमाण क्रमशः $\sqrt{3}$ एवं 2 हैं और $\vec{a}, \vec{b}=\sqrt{6}$ है तो $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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Question 7

7. (i) सदिशों $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
(ii) सदिश $\hat{i}+\hat{j}$ पर सदिश $\hat{i}-\hat{j}$ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
(ii) सदिश $\hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}$ का, सदिश $7 \hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
(iv) $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+7 \vec{b})$ का माने ज्ञात कीजिए।

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Question 8

8. $x y$ समतल और $2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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Question 9

9. $x$-अक्ष और $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के बीच के कोण की कोज्या निकालिये।

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Question 10

10. दिखाओ कि $2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ सदिशों के मध्यस्थ कोण $\cos ^{-1} \frac{4}{21}$ है।

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Question 11

11. दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है,
$\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}), \frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}), \frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$

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Question 12

12. यदि $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$, तो सिद्ध कीजिए कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ परस्पर लम्ब हैं।

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Question 13

13. यदि $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8$ और $|\vec{a}|=8|\vec{b}|$ हो तो $|\vec{a}|$ एवं $|\vec{b}|$ ज्ञात कीजिए।

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Question 14

14. यदि सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के मापांक क्रमशः $a$ और $b$ हों, तो सिद्ध कीजिए कि
$\left(\frac{\vec{a}}{a^2}-\frac{\vec{b}}{b^2}\right)^2=\left(\frac{\vec{a}-\vec{b}}{a b}\right)^2$

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Question 15

15. (i) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि इनके परिमाण समान हैं और इनके बीच का कोण $60^{\circ}$ है तथा इनका अदिश गुणनफल $\frac{1}{2}$ है।
(ii) यदि एक मात्रक सदिश $\vec{a}$, के लिए $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})=12$ हो तो $|\vec{x}|$ ज्ञात कीजिए।
(iii) यदि $\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \vec{k}, \vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ इस प्रकार है कि $\vec{a}+\lambda \vec{b}, \vec{c}$ पर लंब है, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Question 16

16. यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश इस प्रकार से हैं कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ तब सिद्ध कीजिए कि
$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-\frac{3}{2}$

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Question 17

17. दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a},|\vec{a}| \vec{b}|-|\vec{b}| \vec{a}$ पर लंब है।

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Question 18

18. यदि $\vec{a} \cdot \vec{a}=0$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$, तो सदिश $\vec{b}$ के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

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Question 19

19. यदि $\vec{a}=0$ अथवा $\vec{b}=0$, तब $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ परंतु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

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Question 20

20. यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ बराबर परिमाण के परस्पर लम्ब सदिश हों, तो दिखाइये कि सदिश $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ से बराबर कोण बनता है।

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Question 21

21. (i) यदि किसी त्रिभुज $A B C$ के शीर्ष $A, B, C$ क्रमशः $(1,2,3),(-1,0,0),(0,1,2)$ हैं तो $\angle A B C$ ज्ञात कीजिए। [ $\angle A B C$, सदिशों $\overrightarrow{B A}$ एवं $\overrightarrow{B C}$ के बीच का कोण है]
(ii) दर्शाइए कि बिंदु $A(1,2,7), B(2,6,3)$ और $C(3,10,-1)$ संरेख हैं।
(iii) दर्शाइए कि सदिश $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}, 3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।