प्रश्नावली - 6E
1. निम्नलिखित वक्रों पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखाएँ $y$-अक्ष के समान्तर हैं-
(a) $x^2-y^2=a^2$,
(b) $2 x^2+3 y^2=18$,
(c) $y^2=4 a x$.
2. अतिफ्खवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=3$ के बिन्दु $(6,4)$ पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
3. वक्र $y=\cos x$ के बिन्दु $x=\frac{\pi}{4}$ पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
4. परवलय $x^2=y-3 x$ के उस अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए जो $x$-अक्ष से $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
5. वक्र $x=t^2, y=2 t+1$ के बिन्दु ' $t$ ' पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिये जबकि $t=1$.
6. वक्र $y=x^2-2 x+7$ की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो
(a) रेखा $2 x-y+9=0$ के समान्तर है।
(b) रेखा $5 y-15 x=13$ पर लक्ब है।
7. सिद्ध कीजिए कि वक्र $y=7 x^3+11$ के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं जहाँ $x=2$ तथा $x=-2$ है।
8. वक्र $y=x^3$ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के $y$ बिर्देशांक के बराबर है।
9. वक्र $y=4 x^3-2 x^5$, पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिन्दु से होकर जाती है।
10. वक्र $x^2+y^2-2 x-3=0$ के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे $x$-अक्ष के समान्तर हैं।
11. दिखाओ कि वक्र $\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n=2$ को बिन्दु $(a, b)$ पर सरल रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2$ स्पर्श करती है, चाहे $n$ का मान कुछ भी हो।
12. $y=x^3-3 x$ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिये जिन पर स्पर्श रेखाएँ सरल रेखा $9 x-y+7=0$ के समान्तर हैं। इन बिन्दुओं पर अभिलम्ब के समीकरण भी ज्ञात कीजिये।
13. यदि वक्र $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा $O X$ और $O Y$ अक्षों को क्रमशः $P$ और $Q$ पर काटे, तो सिद्ध कीजिए कि $O P+O Q=a$, जहाँ $O$ मूल बिन्दु है।
14. वक्र $9 y^2-4 x^2=36$ की उस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो सीधी रेखा $8 x-15 y=1$ के समान्तर है।
15. वक्र $y=x^3+2 x+6$ के उन अभिलम्बों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x+14 y+4=0$ के समान्तर है।
16. वक्र $y=\sqrt{3 x-2}$ की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $4 x-2 y+5=0$ के समान्तर है।
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