प्रश्नावली - 13B
1. दो स्वतन्त्र घटनाओं $A$ तथा $B$ की प्रायिकताएँ क्रमशः $P(A)=0.40$ तथा $P(B)=0.50$ हैं, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए-
(i) $P(A B)$
(ii) $P(A, B$-नही $)$
(iii) $P(A$-नही, $B)$
(iv) $P(A$-नहीं, $B$-नहीं $)$
2. (i) मान लें $A$ तथा $B$ स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, जहाँ $P(A)=\frac{1}{2}$ तथा $P(B)=\frac{7}{12}$ और $P(A$-नहीं और $B$-नहीं $)=\frac{1}{4}$. क्या $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं ?
(ii) यदि $A$ तथा $B$ दो स्वतन्त्र घट्नाएँ हैं तथा $P(\bar{A})=0.65$, जहाँ $A$ घटना का घटित होना बताया गया है। $P(A \cup B)=0.65$, तो $P(B)$ ज्ञात कीजिए।
3. (i) यदि $P(E)=\frac{2}{7}$ तथा $P(F)=\frac{3}{7}$, और $E$ तथा $F$ स्वतन्त्र घटनाएँ हों, तो $P(E \cap F)$ ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि $P(A)=\frac{3}{5}, P(B)=\frac{1}{5}$ और $A$ तथा $B$ स्वतंत्र घटजाएँ हैं तो $P(A \cap B)$ ज्ञात कीजिए।
4. (i) घट्नाएँ $A$ और $B$ आपस में स्वतन्त्र घट्नाएँ हैं। यदि $P(A)=0.35, P(A \cup B)=0 \cdot 60$, तो $P(B)$ ज्ञात कीजिये।
(ii) मान लें E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(E)=\frac{3}{5}, P(F)=\frac{3}{10}$ और $P(E \cap F)=\frac{1}{5}$ तब क्या $E$ तथा $F$ स्वतंत्र हैं ?
5. (i) यदि $P(A)=\frac{3}{5}$ तथा $P(B)=\frac{1}{5}$ तब $P(A \cap B)$ का मान ज्ञात कीजिए, यदि $A$ तथा $B$ स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
(ii) $A$ और $B$ ऐसी घटनाएँ दी गई हैं जहाँ $P(A)=\frac{1}{2}, P(A \cup B)=\frac{3}{5}$ तथा $P(B)=p . p$ का मान ज्ञात कीजिए यदि (i) घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं। (ii) घट्नाएँ स्वतंत्र हैं।
6. (i) दी गई घटनाएँ $A$ और $B$ ऐसी हैं, जहाँ $P(A)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{2}$ और $P(A \cap B)=\frac{1}{8}$ तब $P$ ( $A$-नही और $B$-नही $)$ ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि $P(A)=\frac{3}{5}, P(B)=\frac{3}{10}$ तथा $P(A \cap B)=\frac{1}{5}$ हो, तब बताइए कि क्या $A$ तथा $B$ स्वतन्त्र घटनाएँ हैं ?
7. एक नाव्य सिक्का तथा एक अनभिनत पाँसा प्रक्षिप्त किया जाता है। मान लीजिए घटना $A$ सिक्के पर एक शीर्ष आना तथा घटना $B$ पॉसे पर 3 का अंक आना प्रदर्शित करता है, तो बताइए कि क्या $A$ तथा $B$ स्वतन्त्र घट्नाएँ हैं ?
8. 52 पत्तों की एक गड्डी में से यादृच्छ्या बिना प्रतिस्थापित किए गए दो पत्ते निकाले गए। दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
9. यदि $E$ तथा $F$ ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(E)=\frac{1}{2}, P(E \cup F)=\frac{3}{5}$ तथा $P(F)=x, x$ का मान ज्ञात कीजिए। यदि
(i) घट्नाएँ परस्पर अपवर्जी हैं,
(ii) घटऩाएँ परस्पर स्वतन्त्र हैं।
10. मान लें $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं तथा $P(A)=0.3$ और $P(B)=0.4$, तब
(i) $P(A \cap B)$
(ii) $P(A \cup B)$
(iii) $P(A \mid B)$
(iv) $P(B \mid A)$ ज्ञात कीजिए।
11. $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ $P(A)=0.3, P(B)=0.6$ तो
(i) $P(A$ और $B)$
(ii) $P(A$ और $B$ नहीं $)$
(iii) $P(A$ या $B)$
(iv) $P_8(A$ और $B$ में कोई भी नहीं) का मान ज्ञात कीजिए।
12. दो विद्यार्थियों $P$ तथा $Q$ के द्वारा किसी प्रश्न के उत्तर देने की प्रायिकताएँ क्रमशः $\frac{1}{2}$ तथा $\frac{1}{3}$ हैं। यदि दोनों अलग-अलग स्वतन्त्र रूप से प्रश्नों के उत्तर देने का प्रयास करें, तब प्रायिकतता ज्ञात कीजिए-(i) यदि प्रश्न का उत्तर दिया जाता है, (ii) उनमें से केवल एक ही प्रश्न का उत्तर देता है।
13. तीन सिक्कों को उछाला जाता है। साना घटनाएँ $A$ 'तीन शीर्ष या तीन पुच्छ आना' $B$ 'कम-से-कम दो शीर्ष आना' तथा $C$ 'अधिकतम दो शीर्ष आना' प्रदर्शित की गयी हैं। अब आप बताइए कि युग्मों $(A, B),(A, C)$ तथा $(B, C)$ में कौन-सा युग्म स्वतन्त्र है ?
14. (i) एक पासे पर $1,2,3$ लाल रंग से और $4,5,6$ हरे रंग से लिखे गए हैं। इस पासे को उठाला गया। मान लें $A$ घट्ना 'संख्या सम है' और $B$ घटना 'संख्या लाल रंग से लिखी गई है' को निरूपित करते हैं। क्या $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं ?
(ii) एक पासे को तीन बार उछाला जाता है तो कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
15. एक पॉसा प्रक्षिप्त किया जाता है। घटना $A$ पॉसे पर 3 के गुणक को दर्शाता है तथा घट्ना $B$ पॉसे पर सम संख्या को दर्शाता है, तब बताइए कि क्या $A$ तथा $B$ स्वतन्त्र घटनाएँ हैं ?
16. एक छात्रावास में $60 \%$ छात्र गणित, $40 \%$ विज्ञान और $20 \%$ दोनों विषय का अध्ययन कर रहे हैं। एक छत्र को यादृच्ध्या चुना जाता है।
(i) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो गणित और न ही विझ्ञान का अध्ययन कर रहा है।
(ii) यदि वह गणित का अध्ययन करता है, तो उसके विज्ञान का अध्ययन करने वाले की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(iii) यदि वह विज्ञान का अध्ययन करता है, तो उसके गुणित का अध्ययन करने वाले की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
17. संतरों के एक डिब्बे का निरीक्षण उसमें से तीन संत्रों को यादृच्छ्या बिना प्रतिस्थापित किए हुए निकाल कर किया जाता है। यदि तीनों निकाले गए संतरे अच्छे हों तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है अन्यया अर्वीकृत कर देते हैं। एक डिब्बा जिसमें 15 संतरे हैं जिनमें से 12 अच्छे व 3 खराब संतरे हैं, के बिक्री के लिए ख्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
18. दो गेंदें एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किए निकाली जाती हैं। बॉक्स में 10 काली और 9 लाल गेंदें हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) दोनों गेंदें लाल हों
(ii) प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो
(iii) एक काली तथा दूसरी लाल हो।
19. एक विशेष समस्या को $A$ और $B$ द्वारा स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{3}$ है। यदि दोनों, स्वतंत्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करते हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) समस्या हल हो जाती है
(ii) उनमें रो तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।
20. ताश के 52 पत्तों की एक सुमिश्रित गड्डी से एक पत्ता यादृच्च्यया निकाला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं ?
(i) $E$ : 'निकाला गया पत्ता हुकुम का है'
$F$ : 'निकाला गया पत्ता इक्का है'
(ii) $E$ : 'निकाला गया पत्ता काले रंग का है'
$F$ : 'निकाला गया पत्ता एक बादशाह है'
(iii) $E$ : 'निकाला गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है'
$F$ : 'निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है'
21. $A$ तथा $B$ दो स्वतन्त्र घट्नाएँ हैं। उनके एक साथ घटित होने की प्रायिकता $\frac{1}{8}$ तथा इनमें से किसी के भी न घटित होने की प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है, तो $P(A)$ तथा $P(B)$ के मान ज्ञात कीजिए।
22. घट्नायें $E$ और $F$ आपस में स्वतन्त्र घटनायें हैं। यदि $P(E)=0.35, P(E \cup F)=0.60$, तो $P(F)$ ज्ञात कीजिए।
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