Dr.Harswaroop Sharma Mathematics Solution Class 12 Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives) Exercise 6I

   

प्रश्नावली - 6I

---

Question 1

निम्नलिखित फलनों के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान क्ञात कीजिए :
1. $3 \sin \theta+4 \cos \theta$.

---

Question 2

2. $\tan x+\cot x$.

---

Question 3

3. अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए :
(a) $\left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}}$
(b) $(33)^{-\frac{1}{5}}$

---

Question 4

4. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\frac{\log x}{x}$ द्वारा प्रदत्त फलन $x=e$ पर उच्चतम है ।

---

Question 5

5. किसी निश्चित आधार $b$ के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ की दर से घट रही है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।

---

Question 6

6. यदि $x+y=10$ तो फलन $x y^2$ का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिए।

---

Question 7

7. $x^4-8 x^3+22 x^2-24 x$ के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मानों के लिए $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

---

Question 8

8. वक्र $x^2=4 y$ के बिंदु $(1,2)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

---

Question 9

9. सिद्ध कीजिए कि वक्र $x=a \cos \theta+a \theta \sin \theta, y=a \sin \theta-a \theta \cos \theta$ के किसी बिंदु $\theta$ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।

---

Question 10

10. अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x)=\frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}$ से प्रदत्त फलन $f$ (i) वर्धमान (ii) ब्रसमान है।

---

Question 11

11. एक खुला आयताकार डिब्बा जिसका आधार वर्ग और पार्श्व फलक (sideface) ऊर्ध्वाधर है, का आयतन 256 घन सेमी है। यदि उसके बनाने में कम से कम चादर लगानी है तो उसकी विमाएँ बताइये।

---

Question 12

12. किसी समलम्ब चतुर्भुज की तीन भुजाएँ आपस में बराबर हैं। यदि इनमें से प्रत्येक 6 सेमी की हो तो समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिए।

---

Question 13

13. अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}, x \neq 0$ से प्रदत्त फलब (i) वर्धमान (ii) ळ्रसमान है।

---

Question 14

14. दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।

---

Question 15

15. आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 m गठरी और $8 \mathrm{~m}^3$ आयतज की एक बिना ढककज की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs $70 / \mathrm{m}^2$ और दीवारों पर Rs $45 / \mathrm{m}^2$ व्यय आता है तो निम्नतम अर्च से बनी टंकी की लागत क्या है ?

---

Question 16

16. 45 सेमी लम्बी और 24 सेमी चौड़ी आयताकार लोहे की एक चद्दर के चारों कोनों से समान भुजा का एक वर्ग काट्कर निकालने के पश्चात् किनारों को मोड़कर ऊपर खुली ठुई एक ढक्कन सुहित सन्दूक बनाई जाती है। वर्गों की भुजा की माप ज्ञात कीजिए जिसके काटने पर बने सन्दूक का महत्तम आयतन होगा।

---

Question 17

17. वक्र $x y^2=1$ पर वह बिन्दु ब्ञात कीजिए जिसकी मूलबिन्दु से दूरी निम्निष्ठ है।

---

Question 18

18. एक वर्ग का परिमाप तथा एक वृत्त की परिधि का योग दिया हुआ है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग न्यूनतम होगा, जबकि वर्ग की भुजा वृत्त के व्यास के बराबर है।

---

Question 19

19. एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग $k$ है, जहाँ $k$ एक अवर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।

---

Question 20

20. किसी आयत के ऊपर बने अर्थवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

---

Question 21

21. त्रिभुज की भुजाओं से $a$ और $b$ दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई

$
\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} \text { है। }
$

---

Question 22

22. उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x)=(x-2)^4(x+1)^3$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का,
(i) स्थानीय उच्चतम बिंदु है
(ii) स्थानीय निम्नतम बिंदु है
(iii) नत परिवर्तन बिंदु है।

---

Question 23

23. $f(x)=\cos ^2 x+\sin x, x \in[0, \pi]$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

---

Question 24

24. सिद्ध कीजिए कि एक $r$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई $\frac{4 r}{3}$ है।

---

Question 25

25. माब लीजिए $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन $f$ है इस प्रकार कि सभी $x \in(a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x)>0$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(a, b)$ पर $f$ एक वर्धमान फलन है।

---

Question 26

26. एक ऊपर से खुले हुए टँक का आयतन $V$ दिया है। इसका आधार वर्गाकार है। यदि इसकी अन्दर की सतह न्यूनतम है तो सिद्ध कीजिए कि इसकी गहराई तथा चौड़ाई का अनुपात $1: 2$ होगा।