प्रश्नावली - 13D
1. जाँच कीजिए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन से एक यादृव्छिक चर के लिये सम्भव है। कारण सहित उत्तर दीजिए-
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
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2. (i) मान लीजिए $X$ चितों की संख्या और पटों की संख्या में अंतर को व्यक्त करता है, जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। $X$ के संभावित मूल्य क्या हैं ?
(ii) एक सिक्के को दो बार उछालने (या दो सिक्कों को एक साथ उछालने) में प्राप्त चितों की संख्या $X$ का प्रायिकता बंट्न ज्ञात कीजिए।
3. (i) एक कलश में 5 लाल और 2 काली गेंदें हैं। दो गेंदें यादृच्छ्या निकाली गई। मान लीजिए $X$ काली गेंदों की संख्या को व्यक्त करता है। $X$ के संभावित मान क्या हैं ? क्या $X$ यादृच्छिक चर है ?
(ii) एक थैले में 6 काली और 2 सफेद गेंदे हैं। दो गेंदें यादृच्छ्या निकाली गई। निकाली गयी सफेद गेंदों को $X$ से निरूपित करते हैं। $X$ के सम्भावित मान क्या हैं ? क्या $X$ यादृच्छिक चर है ?
4. एक पॉसे को दो बार उछालने (या दो पॉसों को एक साथ उछालने) में 6 प्राप्त करने की संख्या $X$ का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
5. निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए-
(i) दो सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का।
(ii) एक सिक्के की तीन उछालों में पटों की संख्या का।
(iii) एक सिक्के की दो उठालों में चितों की संख्या का
(iv) तीन् सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का
(v) एक सिक्के की चार उछालों में चितों की संख्या का
6. यदि दो पॉसों को एक साथ उछाला जाता है, जब सफलताओं का प्रायिकता वितरण ज्ञात कीजिए, जहाँ-
(i) ' 4 से बड़ी संख्या' जिसे सफलता माना गया है।
(ii) कम-से-कम एक पूँसे पर 6 प्रकट होना।
7. एक पासा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए जहाँ
(i) ' 4 से बड़ी संख्या' को एक सफलता माना गया है।
(ii) 'पासे पर संख्या 6 प्रकट होना' को एक सफलता माना गया है।
8. एक थैले में 5 सफेद तथा 3 काली गेंदें हैं। थैले में से 3 गेंदें यादृच्छ्या निकाली जाती हैं। काली गेंदों की प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
9. एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता बंटन निम्नलिखित दिया गया है-
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ज्ञात कीजिए
(i) $k$
(ii) $P(X<3)$
(iii) $P(X>6)$
(iv) $P(0<X<3)$
10. एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता बंटन नीवे दिया गया है।
<image to be added>
ज्ञात कीजिए
(i) $k$
(ii) $P(X<3)$
(iii) $P(X>6)$
(iv) $P(0<X<3)$
11. एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता फलन $P(x)$ निम्न प्रकार से है, जहाँ k कोई संख्या है
$P(x)=\left\{\begin{array}{lc}k & \text { यदि } x=0 \\ 2 k & \text { यदि } x=1 \\ 3 k & \text { यदि } x=2 \\ 0 & \text { अन्यथा }\end{array}\right.$
(a) $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
(b) $P(X<2), P(X \leq 2), P(X \geq 2)$ ज्ञात कीजिए।
12. 52 ताश के पत्तों की एक गड्डी से दो पत्ते बिना प्रतिस्थापन के क्रमशः खींचे गये। वेगम की संख्या होने का प्रायिकता वितरण ज्ञात कीजिए।
13. सही प्रकार के 15 सन्तरों में 5 खराब सन्तरे मिला दिये जाते हैं। दो सन्तरे निकालने में खराब सन्तरों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
14. एक पॉसे को तीन बार उछालने पर 6 की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। बंटन का माध्य तथा प्रसरण भी ज्ञात कीजिए।
15. एक पॉसे को दो बार उछाला जाता है यह यादृच्छिक उछाल प्राप्त विषम संख्या को सफलता के रूप में परिभाषित करता है। सफलता की संख्या का माध्य और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
16. मान लीजिए कि दो पाँसों को एक साथ उछाला जाता है। पॉसों पर प्राप्त संख्याओं का योग लिया जाता है। योग प्राप्त होने का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए तथा माध्य और प्रसरण और मानक विचलन भी ज्ञात करें।
17. 30 बल्बों के एक ढेर से, जिसमें 6 बल्ब खराब हैं 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) यादृच्छ्रया बिना प्रतिस्थापना के निकाला जाता है। खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
18. एक सिक्का समसर्वय संतुलित नहीं है जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की संभावना की तीन गुनी है। यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है तो पटों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
19. दो पासों को युग्मत् उछाला गया। यदि $X$, छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है, तो $X$ की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
20. प्रथम छः धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छ्या (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई। मान लें $X$ दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। $E(X)$ ज्ञात कीजिए।
21. मान लीजिए दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को $X$ से व्यक्त किया गया है। $X$ का प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
22. एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी आयु $14,17,15,14,21,17,19,20,16,18,20,17,16,19$ और 20 वर्ष हैं। एक छत्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है और चुने गए छात्र की आयु $(X)$ को लिखा गया। यादृच्छिक्रिक चर $X$ का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। $X$ का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए।
23. एक बैठक में $70 \%$ सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का अनुमोदन किया और $30 \%$ सदस्यों ने विरोध किया। एक सदस्य को यादृच्छया चुना गया और, यदि उस सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तो $X=0$ लिया गया, जब कि यदि उसने प्रस्ताव का अनुमोदन किया हो तो $X=1$ लिया गया। $E(X)$ और $\operatorname{var}(X)$ ज्ञात कीजिए।
24. एक व्यक्ति एक न्याय सिक्के को कितनी बार उछाले कि कम से कम एक चित्त की प्रायिकता $90 \%$ से अधिक हो ?
25. एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट् होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है, कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
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