प्रश्नावली - 5J
निम्नलिखित का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए :
1. $x^5$ का $x^2$ के सापेक्ष।
2. $a x^7$ का $x^7$ के सापेक्ष।
3. $e^x$ का $\sqrt{x}$ के सापेक्ष।
4. $x \sin ^{-1} x$ का $\sin ^{-1} x$ के सापेक्ष।
5. $\left(3 x^2-9 x+5\right)^9$
6. $\sin ^3 x+\cos ^6 x$
7. $(5 x)^{3 \cos 2 x}$
8. $\sin ^{-1}(x \sqrt{x}), 0 \leq x \leq 1$
9. $\frac{\cos ^{-1} \frac{x}{2}}{\sqrt{2 x+7}},-2<x<2$
10. $\cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right], 0<x<\frac{\pi}{2}$
11. $(\log x)^{\log x}, x>1$
12. $\cos (a \cos x+b \sin x)$, किन्ही अचर $a$ तथा $b$ के लिए
13. $(\sin x-\cos x)^{(\sin x-\cos x)}, \frac{\pi}{4}<x<\frac{3 \pi}{4}$
14. $x^{x^2-3}+(x-3)^{x^2}, x>3$ के लिए
15. $\sin ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ का $\sqrt{x}$ के सापेक्ष।
16. $\left(\log _e \sin x\right)^{\sin x}$ का $\sin x$ के सापेक्ष।
17. $\log _e x$ का $\tan x$ के सापेक्ष।
18. $\log _e\left(x^2+2 x+1\right)$ का $\left(x^2+2 x\right)$ के सापेक्ष।
19. $\left(x^2 \tan ^2 x\right)$ का $\log _e x$ के सापेक्ष।
20. $\sec ^{-1} \frac{1}{2 x^2-1}$ का $\sqrt{1-x^2}$ के सापेक्ष $x=\frac{1}{2}$ पर मान बताइए।
21. $\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2}$ का $\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$ के सापेक्ष।
22. यदि $y=12(1-\cos t), x=10(t-\sin t),-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$ तो $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।
23. यदि किसी $c>0$ के लिए $(x-a)^2+(y-b)^2=c^2$ है तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^2 y}{d x^2}}, a$ और $b$ से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
24. यदि $x=a(\cos t+t \sin t)$ और $y=a(\sin t-t \cos t)$, तो $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ज्ञात कीजिए।
25. यदि $f(x)=|x|^3$ तो प्रमाणित कीजिए कि $f^{\prime \prime}(x)$ का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
26. गणितीय आगमब के सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा, सिद्ध कीजिए कि सभी धन पूर्णांक $n$ के लिए $\frac{d}{d x}\left(x^n\right)=n x^{n-1}$ है।
27. $\sin (\mathrm{A}+\mathrm{B})=\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{B}$ का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा $\operatorname{cosin}$ के के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।
28. क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो ? अपने उत्तर का औवित्य भी बतलाइए।
29. यदि $y=\left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right|$ है तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d y}{d x}=\left|\begin{array}{ccc}f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right|$.
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