प्रश्नावली - 7W
1. सिद्ध कीजिए कि $\int_{-1}^1 \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} d x=2$.
2. $\int_0^{\pi / 2} \cos ^2 x d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
3. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^1 x(1-x)^4 d x=\frac{1}{30}$.
4. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^{\pi / 2} \log (\tan x) d x=0$.
5. $\int_0^a \frac{\sqrt{x} d x}{\sqrt{a-x}+\sqrt{x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।
6. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}=\frac{\pi}{4}$.
7. $\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^{3 / 2} x}{\sin ^{3 / 2} x+\cos ^{3 / 2} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
8. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\cot x}=\frac{\pi}{4}$.
9. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^{\pi / 2} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}} d x=\frac{\pi}{4}$.
10. $\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^5 x d x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x}$ का मान ज्ञात कीजिए।
11. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x=\frac{\pi}{8} \log _e 2$.
12. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\cos x} d x=\frac{\pi^2}{4}$.
13. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^{\pi / 2} \frac{a \sin x+b \cos x}{\sin x+\cos x} d x=(a+b) \frac{\pi}{4}$.
14. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^\pi \frac{x}{a^2 \cos ^2 x+b^2 \sin ^2 x} d x=\frac{\pi^2}{2 a b}$.
15. $\int_0^2 x \sqrt{2-x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
16. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^{\infty} \log _e\left(x+\frac{1}{x}\right) \frac{d x}{1+x^2}=\pi \log _e 2$.
17. $\int_0^{\pi / 2}(2 \log \sin x-\log \sin 2 x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
18. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^\pi \frac{x d x}{a^2-\cos ^2 x}=\frac{\pi^2}{2 a \sqrt{a^2-1}}$, जब $a>1$.
19. $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
20. सिद्ध कीजिए कि $\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{x+\pi / 4}{2-\cos 2 x} d x=\frac{\pi^2}{6 \sqrt{3}}$
21. (i) $\int_0^\pi \frac{x d x}{1+\sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) $\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
22. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x d x}{(\sec x+\tan x)^n}=\frac{n}{n^2-1}$.
23. (i) $\int_0^\pi \log (1+\cos x) d x$ का मान ज्ञात कीजिये।
(ii) $\int_0^1 x(1-x)^n d x$ का मान ज्ञात कीजिये।
24. $\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^2 x}{\sin x+\cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिये।
25. $\int_0^{\pi / 4} \frac{\sin (\cos 2 x)}{\operatorname{cosec} 2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिये।
26. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^{\pi / 2} x^2 \operatorname{cosec}^2 x d x=\pi \log _e 2$.
27. (i) $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^7 x d x$ का मान ज्ञात कीजिये।
(ii) $\int_0^{2 \pi} \cos ^5 x d x$ का मान ज्ञात कीजिये।
28. (i) $\int_{-5}^5|x+2| d x$ का मान ज्ञात कीजिये।
(ii) $\int_2^8|x-5| d x$ का मान ज्ञात कीजिये।
(iii) $\int_0^4|x-1| d x$ का मान ज्ञात कीजिये।
29. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^\pi \frac{e^{\cos x} d x}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}}=\frac{\pi}{2}$.
30. सिद्ध कीजिए कि $\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x d x}{1+\cos x+\sin x}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \log _e 2$
31. दर्शाइए कि $\int_0^a f(x) g(x) d x=2 \int_0^a f(x) d x$, यदि $f$ और $g$ को $f(x)=f(a-x)$ तथा $g(x)+g(a-x)=4$ के रुप में परिभाषित किया गया है।
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