प्रश्नावली - 3E
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये वये हैं, सही उत्तर छाँटिय
Question 1
1. आव्यूह $\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ का क्रम होगा-
(A) $1 \times 1$
(B) $2 \times 2$
(C) $0-1$
(D) इनमें से कोई नहीं
Question 2
2. यदि $A=\left[\begin{array}{cc}5 & -3 \\ 2 & 4\end{array}\right]$ तथा $B=\left[\begin{array}{cc}6 & -4 \\ 3 & 6\end{array}\right]$ तो $A-B$ होगा
(A) $\left[\begin{array}{rr}11 & -7 \\ 5 & 10\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ -1 & -2\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{cc}11 & 7 \\ 5 & -10\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{cc}12 & -7 \\ 5 & -10\end{array}\right]$.
Question 3
3. $\mathrm{A}=\left[a_{i j}\right]_{m \times n}$ एक वर्ग आव्यूह है यदि :
(A) $m<n$
(B) $m>n$
(C) $m=n$
(D) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
Question 4
4. $x$ तथा $y$ के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं ?
$\left[\begin{array}{cc}3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & y-2 \\ 8 & 4\end{array}\right]$
(A) $x=-\frac{1}{3}, y=7$
(B) ज्ञात करना सम्भव नहीं
(C) $x=-\frac{2}{3}, y=7$
(D) $x=-\frac{1}{3}, y=-\frac{2}{3}$.
Question 5
5. $3 \times 3$ कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 हैं ?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512 .
मान लीजिए कि $\mathrm{X}, \mathrm{Y}, \mathrm{Z}, \mathrm{W}$ तथा P क्रमशः $2 \times n, 3 \times k, 2 \times p, n \times 3$ तथा $p \times k$, कोटियों के आव्यूह हैं।
Question 6
6. $\mathrm{PY}+\mathrm{WY}$ के परिभाषित होने के लिए $n, k$ तथा $p$ पर क्या प्रतिबंध होगा ?
(A) $k=3, p=n$
(B) $k$ स्वेच्छ है, $p=2$
(C) $p$ स्वेच्छ है, $k=3$
(D) $k=2, p=3$.
Question 7
7. यदि $n=p$, तो आव्यूह $7 X-5 Z$ की कोटि है।
(A) $p \times 2$
(B) $2 \times n$
(C) $n \times 3$
(D) $p \times n$
Question 8
8. यदि $A=\left[\begin{array}{cc}1-\sin ^2 \alpha & 1-\cos ^2 \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha\end{array}\right]$ तथा $B=\left[\begin{array}{cc}\sin ^2 \alpha & \cos ^2 \alpha \\ -\cos \alpha & -\sin \alpha\end{array}\right]$ हो, तो $A+B$ का मान होगा-
(A) $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{cc}1-2 \sin ^2 \alpha & 1-2 \cos ^2 \alpha \\ 2 \cos \alpha & -2 \sin \alpha\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 2 \cos \alpha & 2 \sin \alpha\end{array}\right]$
(D) इनमें से कोई नहीं।
Question 9
9. यदि आव्यूह $A=\left[\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right]$ हो, तो (-A) का मान होगा-
(A) $\left[\begin{array}{lll}-a_1 & b_1 & c_1 \\ -a_2 & b_2 & c_2 \\ -a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{lll}b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_2 \\ b_3 & a_3 & c_3\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{lll}-a_1 & -b_1 & -c_1 \\ -a_2 & -b_2 & -c_2 \\ -a_3 & -b_3 & -c_3\end{array}\right]$
Question 10
10. यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो $A B-B A$ एक :
(A) विषम सममित आव्यूह है
(B) सममित आव्यूह है
(C) शून्य आव्यूह है
(D) तत्समक आव्यूह है।
Question 11
11. यदि $A=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$, तो $A+A^{\prime}=\mathrm{I}$, यदि $\alpha$ का मान है :
(A) $\frac{\pi}{6}$
(B) $\frac{\pi}{3}$
(C) $\pi$
(D) $\frac{3 \pi}{2}$.
Question 12
12. आव्यूह $A$ तथा $B$ एक दूसरे के व्युत्क्रम होंगे केवल यदि :
(A) $A B=B A$
(B) $A B=B A=0$
(C) $A B=0, B A=\mathrm{I}$
(D) $A B=B A=I$.
Question 13
13. यदि $A=\left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha\end{array}\right]$ इस प्रकार है कि $A^2=I$, तो
(A) $1+\alpha^2+\beta \gamma=0$
(B) $1-\alpha^2+\beta \gamma=0$
(C) $1-\alpha^2-\beta \gamma=0$
(D) $1+\alpha^2-\beta \gamma=0$
Question 14
14. यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है, तो :
(A) $A$ एक विकर्ण आव्यूह है।
(B) $A$ एक शून्य आव्यूह है।
(C) $A$ एक वर्ग आव्यूह है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
Question 15
15. यदि $A$ एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि $A^2=A$, तो $(I+A)^3-7 A$ बराबर है :
(A) $A$
(B) $I-A$
(C) I
(D) $3 A$.
Question 16
16. निम्नलिखित आव्यूह की कोटि लिखिए :
(i) $\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 5 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right]$
(ii) $\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & 4\end{array}\right]$
Question 17
17. यदि $A=\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\ -3 & 5\end{array}\right]$ तथा $B=\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ तो $A+B$ तथा $A-B$ ज्ञात कीजिए।
Question 18
18. एक $2 \times 2$ आव्यूह $B=\left[b_{i j}\right]$ की रचना कीजिए जिसके अवयव $b_{i j}=\frac{(2 i+j)^2}{2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
Question 19
19. यदि $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ तो $A B$ तथा $B A$ ज्ञात कीजिए। दर्शाइए कि $A B \neq B A$.
Question 20
20. यदि $P(x)=\left[\begin{array}{cc}\cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x\end{array}\right]$ तथा $P(y)=\left[\begin{array}{cc}\cos y & \sin y \\ -\sin y & \cos y\end{array}\right]$ तो दर्शाइए कि $P(x) \cdot P(y)=P(x+y)$.
Question 21
21. यदि $A=\left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\ -4 & 2\end{array}\right]$ तो $A^2-5 A+14 I$ ज्ञात कीजिए, जहाँ $I$ इकाई आव्यूह है।
Question 22
22. यदि $A=\left[\begin{array}{cc}4 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right]$ तो सिद्ध कीजिए $(A-2 I)(A-3 I)=0$.
Question 23
23. मान लीजिए कि $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ हो तो दिखाइए कि सभी $n \in N$ के लिए $(a I+b A)^n=a^n I+n a^{n-1} b A$, जहाँ $I$ कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।
Question 24
24. यदि $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$, तो सिद्ध कीजिए कि $A^n=\left[\begin{array}{lll}3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1}\end{array}\right], n \in N$.
Question 25
25. यदि $A=\left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right]$, तो सिद्ध कीजिए कि $A^n=\left[\begin{array}{cc}1+2 n & -4 n \\ n & 1-2 n\end{array}\right]$, जहाँ $n$ एक धन पूर्णांक है।
Question 26
26. यदि $A$ तथा $B$ सममित आव्यूह है तो सिद्ध कीजिए कि $A B-B A$ एक विषम सममित आव्यूह है।
Question 27
27. सिद्ध कीजिए कि आव्यूह $B^{\prime} A B$ सममित अथवा विषम सममित है यदि $A$ सममित आव्यूह अथवा विषम सममित है।
Question 28
28. $x, y$ तथा $z$ के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z\end{array}\right]$ समीकरण $A^{\prime} A=I$ को संतुष्ट करता है।
Question 29
29. $x$ के किस मान के लिए $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ x\end{array}\right]=0$ है ?
Question 30
30. यदि $A=\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $A^2-5 A+7 I=0$ है ।
Question 31
31. यदि $\left[\begin{array}{lll}x & -5 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ 4 \\ 1\end{array}\right]=0$ है तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Question 32
32. एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ $x, y$ तथा $z$ का उत्पादन करता है जिनका वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सचित (निदर्शित) है :
<image to be added>
https://youtu.be/XaGEOYSQghs?list=PLiJhhkRbJZuyTZ-ee4M88eFolFskEx3qS&t=566
(a) यदि $x, y$ तथा $z$ की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs 2.50 , Rs 1.50 तथा $\operatorname{Re} 1.00$ है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
(b) यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (Cost) क्रमशः Rs 2.00 , Re 1.00 तथा 50 पैसे है तो कुल लाभ (Gross profit) ज्ञात कीजिए।
Question 33
33. आव्यूह $X$ ज्ञात कीजिए, यदि $X\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6\end{array}\right]$ है।
Question 34
34. यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $A B=B A$ है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि $A B^n=B^n A$ होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त $n \in N$ के लिए $(A B)^n=A^n B^n$ होगा।
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