प्रश्नावली - 6A
1. किसी क्षण $t$ पर एक कण की स्थिति $x=4 t^2-15 t+20$ मीटर से व्यक्त की गयी है। इससे शून्य समय पर कण की स्थिति, वेग और त्वरण ज्ञात कीजिए।
2. वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
(a) $r=3 \mathrm{~cm}$ है।
(b) $r=4 \mathrm{~cm}$ है।
3. एक घन का आयतन $8 \mathrm{~cm}^3 / \mathrm{s}$ की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लंबाई 12 cm है।
4. एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है।
5. एक परिवर्तनशील घन का किनारा $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है ?
6. एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में $5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm है तो उस क्षण, घिरा ठुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है ?
7. एक वृत्त की त्रिज्या $0.7 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब $r=4.9 \mathrm{~cm}$ है ?
8. एक घन के कोर में $4 \mathrm{~cm} / \mathrm{sec}$ की दर से वृद्धि होती है। यदि कोर की लम्बाई 8 cm हो, तो घन के आयतन में किस दर से वृद्धि होगी ?
9. यदि एक कण द्वारा $t$ सेकण्ड में $s$ मीटर दूरी तय की जाती है तथा $s=5 t^3+2 t^2$, तब 3 सेकण्ड के अन्त में कण का वेग तथा त्वरण ज्ञात कीजिए।
10. वृत्त की त्रिज्या में $5 \mathrm{~cm} / \mathrm{sec}$ की दर से वृद्धि होती है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 12 cm है।
11. एक कण सूत्र $s=2 t^3-9 t^2+12 t+1$ द्वारा गतिमान है, जहाँ $s, t$ समय में विस्थापन है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) एक सेकण्ड पश्वात वेग तथा त्वरण
(ii) वह समय जब कण रूक जाता है,
(iii) दो बार रुकके के स्थानों के बीच की दूरी।
12. एक आयत की लंबाई $x, 5 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ की दर से घट रही है और चौड़ाई $y, 4 \mathrm{~cm} / \min$ की दर से बढ़ रही है। जब $x=8 \mathrm{~cm}$ और $y=6 \mathrm{~cm}$ हैं तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
13. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पंप द्वारा $900 \mathrm{~cm}^3$ गैस प्रति सेकंड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ब्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 cm है।
14. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है।
15. एक 5 m लंबी सीढ़ी दीवार के सहारे द्रुकी है। सीढ़ी का बीवे का सिरा, जमीन के अनुदिश दीवार से दूर $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ की दर से खीचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के बीचे का सिरा दीवार से 4 m दूर है ?
16. एक कण वक्र $6 y=x^3+2$ के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जबकि $x$-निर्देशांक की तुलना में $y$ निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है।
17. हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या $\frac{1}{2} \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतब किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है ?
18. एक स्थिर झील में एक पत्थर का टुकड़ा डाला जाता है। झील में पानी की लहरें $8 \mathrm{~cm} / \mathrm{sec}$ की दर से वृत्ताकार पथ में गमब करती हैं। यदि वृत्त की त्रिज्या 9 cm हो, तो उसके परिबद्ध क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होगी ?
19. एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास $\frac{3}{2}(2 x+1)$ है। $x$ के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
20. एक आयत की लम्बाई $x$ में $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ की दर से ह्रास होता है तथा वौड़ाई $y$ में $5 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ की दर से वृद्धि होती है। जब $x=8 \mathrm{~cm}$ और $y=5 \mathrm{~cm}$, तब (a) परिधि तथा (b) क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात करें।
21. किसी उत्पाद की $x$ इकाईयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय $R(x)$ रुपयों में $R(x)=13 x^2+26 x+5$ से प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब $x=7$ है।
22. किसी उत्पाद की $x$ इकाई के विक्रुय से प्राप्त होने वाली कुल आय $R(x)=5 x^2+35 x+7$ से प्रदत्त है। जब $x=7$ हो, तो सीमान्त आय ज्ञात कीजिए। जहाँ सीमान्त आय से हमारा तात्पर्य किसी क्षण विक्रय की गयी वस्तुओं के सापेक्ष सम्पूर्ण आय के परिवर्तन की दर से है।
23. एक पाइप से रेत $12 \mathrm{~cm}^3 / \mathrm{s}$ की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीब पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छ्ठा भाग है। रेत से बने शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है ?
24. एक वस्तु की $x$ इकाइयों के उत्पादन से सम्बन्ध कुल लागत $c(x)$ (रूपये में) $c(x)=0.007 x^3-0.003 x^2+15 x+4000$ से प्रदत्त है। सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।
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