Dr.Harswaroop Sharma Mathematics Solution Class 12 Chapter 10 सदिश बीजगणित (Vector Algebra) Exercise 10C

   

    

प्रश्नावली - 10C

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न:

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Question 1

1. सदिशों $\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ और $3 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ के योग तथा अन्तर ज्ञात कीजिए।

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Question 2

2. निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए :
$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} ; \vec{b}=2 \hat{i}-7 \hat{j}-3 \hat{k} ; \vec{c}=\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}-\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}$

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Question 3

3. सदिश $(3 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k})-(\hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Question 4

4. बिन्दुओं $A(3,4,0)$ तथा $B(-2,5,6)$ को मिलाने वाला तथा $A$ से $B$ की ओर दिष्ट सदिश $\overrightarrow{A B}$ ज्ञात कीजिए।

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Question 5

5. यदि बिन्दु $A$ तथा $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $(5 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})$ तथा $(\hat{i}+3 \hat{j}-7 \hat{k})$ हैं, तो $|\overrightarrow{A B}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Question 6

6. यदि $\overrightarrow{O A}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ तथा $\overrightarrow{O B}=5 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$ तो $\overrightarrow{A B}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Question 7

7. यदि $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}, \vec{b}=-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}, \vec{c}=4 \hat{i}+3 \hat{k}$ तो सदिश
(i) $\vec{a}-\vec{b}$
(ii) $\vec{b}-\vec{a}$
(iii) $\vec{a}+\vec{b}+2 \vec{c}$ का मापांक ज्ञात कीजिए।

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Question 8

8. यदि $\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}, \vec{c}=4 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}$ हो, तो $|\vec{a}+2 \vec{b}+2 \vec{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Question 9

9. यदि $\vec{a}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ तथा $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ तो $\vec{a}-\vec{b}$ का मापांक ज्ञात कीजिए।

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Question 10

10. $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश $2 \hat{i}+3 \hat{j}$ और $x \hat{i}+y \hat{j}$ समान हों।

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Question 11

11. सदिश $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=-2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-6 \hat{j}-7 \hat{k}$ का योगफल ज्ञात कीजिए।

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Question 12

12. सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

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Question 13

13. सदिश $\overrightarrow{P Q}$ के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदु $P$ और $Q$ क्रमशः $(1,2,3)$ और $(4,5,6)$ हैं।

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Question 14

14. दिए हुए सदिशों $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ के लिए, सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

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Question 15

15. सदिश $5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।

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Question 16

16. दर्शाइए कि सदिश $2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $-4 \hat{i}+6 \hat{j}-8 \hat{k}$ संरेख हैं।

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Question 17

17. सदिश $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।

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Question 18

18. यदि $\vec{a}=4 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-7 \hat{k}, \vec{c}=-3 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{d}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, तो $3 \vec{a}+2 \vec{b}-4 \vec{c}-\vec{d}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Question 19

19. किसी त्रिभुज $A B C$ के शीर्ष $2 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}, 4 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $6 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ हों, तो $\overrightarrow{A B}$ और $\overrightarrow{A C}$ के सदिश एवं उनके परिमाण ज्ञात कीजिए।

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Question 20

20. बिन्दुओं $A(1,2,-3)$ एवं $B(-1,-2,1)$ को मिलाने वाले एवं $A$ से $B$ की तरफ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।

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Question 21

21. दर्शाइए कि सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ अक्षों $O X, O Y$ एवं $O \mathrm{Z}$ के साथ बराबर झुका हुआ है।

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Question 22

22. बिंदुओं $P(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})$ और $Q(-\hat{i}+\hat{i}+\hat{k})$ को मिलाने वाली रेखा को $2: 1$ के अनुपात में (i) अंतः (ii) बाह्य, विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

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Question 23

23. दो बिंदुओं $P(2,3,4)$ और $Q(4,1,2)$ को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए।

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Question 24

24. दर्शाइए कि बिंदु $A, B$ और $C$, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।

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Question 25

25. सिद्ध कीजिये कि यदि त्रिभुज $A B C$ में बिन्दु $A, B$ तथा $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ हैं, तो त्रिभुज समकोणीय होगा।

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Question 26

26. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज $A B C$ समबाहु होगा, यदि बिन्दु $A, B$ तथा $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}),(-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k})$ और $(-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k})$ हैं।

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Question 27

27. यदि त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश $7 \hat{j}+10 \hat{k},-\hat{i}+6 \hat{j}+6 \hat{k},-4 \hat{i}+9 \hat{j}+6 \hat{k}$ हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।

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Question 28

28. सिद्ध करो कि वह त्रिभुज जिसके शीर्ष $2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}, 4 \hat{i}+5 \hat{j}+\hat{k}$ और $3 \hat{i}+6 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं, समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

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Question 29

29. दिखाओ कि सदिश $\vec{a}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}, \vec{c}=2 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

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Question 30

30. बिन्दुओं $\overrightarrow{2 a}-\overrightarrow{3 b}$ और $\overrightarrow{3 a}-\overrightarrow{2 b}$ को मिलाने वाली रेखा को $2: 3$ में अन्तर्गत तथा बहिर्गत विभक्त करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

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Question 31

31. $A$ तथा $B$ दो बिन्दु हैं। बिन्दु $A$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{6 a}-\overrightarrow{2 b}$ है। कोई बिन्दु $P$ जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}-\vec{b}$ है, $A B$ को $1: 2$ में विभक्त करता है, तो $B$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

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Question 32

32. सिद्ध कीजिये कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक-दूसरे को $2: 1$ के अनुपात में बॉट्ती हैं।