5. एक कम्पनी $P$ और $Q$ दो प्रकार के उत्पाद बनाती है। उत्पाद $P$ पर कटिंग तथा असेम्बलिंग हेतु क्रमशः 5 मिनट और 10 मिनट लगता है, जबकि $Q$ पर प्रत्येक असेम्बली 8 मिनट का समय लगता है। कटिंग और असेम्बलिंग हेतु क्रमशः 3 घण्टे 20 मिनट तथा 4 घण्टे उपलब्ध हैं। $P$ तथा $Q$ दोनों प्रकारों पर लाभ क्रमशः 50 पैसे और 60 पैसे हैं। अधिकतम लाभ के लिए दोनों प्रकारों की कितनी संख्या उत्पादित करनी चाहिए ?
6. एक हवाई जहाज अधिकतम 200 यात्रियों को यात्रा करा सकता है। प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर 800 रु. और सस्ते श्रेणी के ट्किट पर 500 रु. का लाभ कमाया जा सकता है। एअरलाइन कम से कम 20 सीटें प्रथम श्रेणी के लिए आरक्षित करती है। तथापि प्रथम श्रेणी की अपेक्षा कम से कम 4 गुने यात्री सस्ती श्रेणी के टिकट से यात्रा करने को वरीयता देते हैं। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने टिकट बेचे जाएँ ताकि लाभ का अधिकतमीकरण हो ? अधिकतम लाभ कितना है ?
7. रेशमा दो प्रकार के भोज्य $P$ और $Q$ को इस प्रकार मिलाजा चाहती है कि मिश्रण में विटामिन अवयवों में 8 मात्रक विटामिज $A$ तथा 11 मात्रक विटामिन $B$ हों। भोज्य $P$ की लागत Rs $60 / {kg}$ और भोज्य $Q$ की लागत Rs $80 / {kg}$ है। भोज्य $P$ में 3 मात्रक $/ {kg}$ विटामिन $A$ और 5 मात्रक $/ {kg}$ विटामिन $B$ है जबकि भोज्य $Q$ में 4 मात्रक $/{kg}$ विटामिन $A$ और 2 मात्रक $/ {kg}$ विटामिन है। मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए।
8. एक प्रकार के केक को 200 g आटा तथा 25 g वसा (fat) की आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लिए 100 g आटा तथा 50 g वसा की आवश्यकता होती है। केकों की अधिकतम संख्या बताओ जो 5 किलो आटे तथा 1 किलो वसा से बज सकते हैं, यह मान लिया गया है कि केकों को बनाने के लिए अन्य पदार्थों की कमी नहीं रहेगी।
9. एक कारखाने में टेनिस के रैकेट तथा क्रिकेट के बल्ले बनते हैं। एक टेनिस रैकेट बनाने के लिए 1.5 घंटा यांत्रिक समय तथा 3 घंटे शिल्पकार का समय लगता है। एक क्रिकट बल्ले को तैयार करने में 3 घंटे यांत्रिक समय तथा 1 घंटा शिल्पकार का समय लगता है। एक दिन में कारखाने में विभिन्न यतों पर उपलब्ध यांत्रिक समय के 42 घंटे और शिल्पकार समय के 24 घंटे से अधिक नहीं हैं
(i) रैकेटों और बल्लों को कितनी संख्या में बनाया जाए ताकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे?
(ii) यदि रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमशः Rs 20 तथा Rs 10 हों तो कारखाने का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए यदि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे।
10. एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन $A$ पर एक घंटा और मशीन $B$ पर 3 घंटें काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन $A$ पर और 1 घंटा मशीन $B$ पर काम करना पड़ता है। वह नटीं से Rs. 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर Rs. 7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
11. एक कारखाने में दो प्रकार के पेंच $A$ और $B$ बनते हैं। प्रत्येक के निर्माण में दो मशीनों के प़योग की आवश्यकता होती है, जिसमें एक स्वचालित और दूसरी हस्तचालित है। एक पैकेट पेंच $A$ के निर्माण में 4 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन तथा एक पैकेट पेंच $B$ के निर्माण में 6 मिनट स्वचालित और 3 मिनट हस्तचालित मशीन का कार्य होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के लिए अधिकतम 4 घंटे काम के लिए उपलब्ध है। निर्माता पेंच $A$ के प्रत्येक पैकेट पर Rs 7 और पेंच $B$ के प्रत्येक पैकेट पर Rs 10 का लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि कारखाने में निर्मित सभी पेंचों के पैकेट बिक जाते हैं, ज्ञात कीजिए कि प्रतिदिन कितने पैकेट विभिन्न पेंचों के बनाए जाएँ जिससे लाभ अधिकतम हो तथा अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।
12. एक कुटीर उद्योग निर्माता पैडेस्टल लैंप और लकड़ी के शेड बनाता है। प्रत्येक के निर्माण में एक रगड़ने/काटने और एक स्प्रेयर की आवश्यकता पड़ती है। एक लेंप के निर्माण में 2 घंटे रगड़ने/काट्ने और 3 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निर्माण में 1 घंटा रगड़ने/काटने और 2 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है। स्प्रेयर की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 20 घंटे और रगड़ने/काट्ने की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 12 घंटे के लिए उपलब्ध है। एक लैंप की बिक्री पर Rs 5 और एक शेड की बिक्री पर Rs 3 का लाभ होता है। यह मानते हुए कि सभी निर्मित लैंप और शेड बिक जाते हैं, तो बताइए वह निर्माण की प्रतिदिज कैसी योजना बनाए कि लाभ अधिकतन हो ?
13. एक कंपनी प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिह्न का निर्माण करती है। $A$ प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के निर्माण में 5 मिनट काट्ने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। $B$ प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के लिए 8 मिनट काटने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं। दिया गया है कि काटने के लिए कुल समय 3 घंटे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घंटे उपलब्ध हैं। प्रत्येक $A$ प्रकार के स्मृति चिह्न पर Rs 5 और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिह्न पर Rs 6 का लाभ होना है। ज्ञात कीजिए कि लाभ के अधिकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिह्नों का कंपनी द्वारा निर्माण होना चाहिए?
14. एक सौदागर दो प्रकार के निजी कंप्यूटर एक डेंस्कटॉप नमूना और दूसरा पोर्टेबल नमूना, जिनकी कीमते क्रमशः Rs 25,000 और Rs 40,000 होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है कि कंप्यूट्रों की कुल मासिक माँग 250 नगों से अधिक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कंप्यूटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागर अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करें यदि उसके पास निवेश के लिए Rs 70 लाख से अधिक नहीं है और यदि डेस्कटॉप नमूने पर उसका लाभ Rs. 4500 और पोर्टेबल नमूने पर Rs 5000 लाभ हो।
15. एक भोज्य पदार्थ में कम से कम 80 मात्रक विटामिन $A$ और 100 मात्रक खनिज होना चाहिए। दो प्रकार के भोज्य $F_1$ और $F_2$ उपलब्ध हैं। भोज्य $F_1$ की लागत Rs 4 प्रति मात्रक और $F_2$ की लागत Rs 5 प्रति मात्रक है। भोज्य $F_1$ की एक इकाई में कम से कम 3 मात्रक विटामिन A और 4 मात्रक खनिज है। $F_2$ की प्रति इकाई में कम से कम 6 मात्रक विटामिन $A$ और 3 मात्रक खनिज हैं। इसको एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में सूत्रबद्ध कीजिए। उस आहार का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए, जिसमें इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमें न्यूनतम पोषक तर्त्व हैं।
16. दो प्रकार के उर्वरक $F_1$ और $F_2$ हैं। $F_1$ में $10 \%$ नाइट्रोजन और $6 \%$ फास्फोरिक अम्ल है। तथा $F_2$ में $5 \%$ नाइट्रोजज तथा $10 \%$ फास्फोरिक अम्ल है। मिट्टी की स्थितियों का परीक्षण करने के पश्चात् एक किसान पाता है कि उसे अपनी फसल के लिए 14 Kg नाइट्रोजन और 14 kg फास्फोरिक अम्ल की आवश्यकता है। यदि $F_1$ की कीमत $\mathrm{Rs} 6 / \mathrm{kg}$ और $F_2$ की कीमत Rs $5 / \mathrm{kg}$ है, प्रत्येक प्रकार का कितना उर्वरक उपयोग के लिए चाहिए ताकि व्यूनतम मूल्य पर वांछित पोषक तत्व मिल सके। न्यूनतम लागत क्या है।
17. एक आहारविद् दो भोज्यों $P$ तथा $Q$ का उपयोग करते हुए एक विशेष आहार तैयार करता है। भोज्य $P$ का प्रत्येक पैकेट (जिसमें 30 ग्राम अन्तर्विष्ट है) में कैल्शियम के 12 मात्रक लौह तत्व के 4 मात्रक, कोलेस्टरॉल के 6 मात्रक और विटामिन $A$ के 6 मात्रक अन्तर्विष्ट हैं जबकि उसी मात्रक के भोज्य $Q$ के पैकेट में कैल्शियम तत्व के 3 मात्रक, लौह तत्व के 20 मात्रक, कोलेस्टरॉल के 4 मात्रक और विटामिन $A$ के 3 मात्रक अन्तर्विष्ट है। आहार में कम-से-कम 240 मात्रक कैल्शियम, लौह तत्व के कम-से-कम 460 मात्रक और कोलेस्टरॉल के अधिक-से-अधिक 300 मात्रक अपेक्षित हैं। आहार में विटामिज $A$ की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए ? आहार में विटामिन $A$ की अधिकतम् मात्रा क्या है ?
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