Dr.Harswaroop Sharma Mathematics Solution Class 12 Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives) Exercise 6B

   

प्रश्नावली - 6B

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Question 1

1. दिखाइए कि निम्नलिखित फलन $R$ पर वर्धमाब है :
(i) $f(x)=3 x+1$
(ii) $f(x)=x^3-6 x^2+12 x-16$
(iii) $f(x)=x^3-3 x^2+3 x$
(iv) $f(x)=x+\cos x$

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Question 2

2. सिद्ध कीजिए R पर $f(x)=3 x+17$ से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है।

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Question 3

3. सिद्ध कीजिए $f(x)=\sin x$ से प्रदत्त फलन

(a) $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर वर्थमान है

(b) $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में निरंतर ह्यसमान है

(c) $(0, \pi)$ में न तो वर्थमान है और न ही ह्रसमान है।

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Question 4

4. दिखाइए कि निम्नलिखित फलन $R$ पर ब्रसमान है-
(i) $f(x)=-\frac{1}{3} x^3-x^2-x+7$
(ii) $f(x)=\log \sin x$

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Question 5

5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2 x^2-3 x$ से प्रदत्त फलन $f$
(a) निरंतर वर्धमान
(b) निरंतर ह्रसमान

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Question 6

6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन $f$ निरंतर वर्धमान या ह्रासमान है :
(a) $f(x)=x^2+2 x+5$
(b) $f(x)=10-6 x-2 x^2$

(c) $f(x)=-2 x^3-9 x^2-12 x+1$
(d) $f(x)=6-9 x-x^2$

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Question 7

7. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=x^2-x+1$, अन्तराल $(0,1)$ में न तो वर्धमाज है और न ही ह्रसमान है।

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Question 8

8. वह अन्तराल ज्ञात कीजिए जिसमें निम्न फलन वर्धमान या ह्नसमान है :
(i) $f(x)=x^3-3 x$
(ii) $f(x)=3 x^2-4 x$
(iii) $f(x)=2 x^3-3 x^2-72 x+10$

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Question 9

9. सिद्ध कीजिए कि $y=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}, x>-1$, अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।

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Question 10

10. $x$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y=[x(x-2)]^2$ एक वर्धमान फलन है।

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Question 11

11. सिद्ध कीजिए कि $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में $y=\frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)}-\theta, \theta$ का एक वर्धमान फलन है।

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Question 12

12. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन $(0, \infty)$ में निरंतर वर्थमान फलन है।

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Question 13

13. सिद्ध कीजिए कि $(-1,1)$ में $f(x)=x^2-x+1$ से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्लसमान है।

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Question 14

14. निम्नलिखित में कौन से फलन $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में निरंतर ह्रासमान है ?
(A) $\cos x$
(B) $\cos 2 x$
(C) $\cos 3 x$
(D) $\tan x$

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Question 15

15. निम्बलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में $f(x)=x^{100}+\sin x-1$ द्वारा प्रदत्त फलब $f$ निरंतर झ्लसमान है ?
(A) $(0,1)$
(B) $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$
(C) $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
(D) इनमें से कोई नही

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Question 16

16. $x$ के किन मानों के लिए फलन $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}, x \neq 0$ वर्धमान या ह्रसमान है।

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Question 17

17. अन्तराल ज्ञात कीजिए जिसमें $f(x)=2 x^3-3 x^2-36 x+7$ से प्रदत्त फलन $f$ :
(a) निरन्तर वर्धमान
(b) निरन्तर ह्रसमान।

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Question 18

18. $x$ के वे मान ज्ञात कीजिए जिन पर फलन $x^2+2 x-3$ वर्धमान या ह्रसमान है।

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Question 19

19. $a$ का वह न्यूबतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल $[1,2]$ में $f(x)=x^2+a x+1$ से प्रदत्त फलन बिरंतर वर्धमान है।

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Question 20

20. माब लीजिए $(-1,1)$ से असंयुक्त एक अंतराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में $f(x)=x+\frac{1}{x}$ से प्रदत्त फलन $f$, निरंतर वर्धमान है ।

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Question 21

21. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=\log \sin x,\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर वर्धमान और $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में निरंतर ह्नसमान है।

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Question 22

22. दिखाइए कि फलन $f(x)=e^{2 x}, R$ पर निरन्तर वर्धमान है।

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Question 23

23. सिद्ध कीजिए कि $R$ में दिया गया फलन $f(x)=x^3-3 x^2+3 x-100$ वर्धमान है।

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Question 24

24. सिद्ध कीजिए कि फलब $f(x)=\log |\cos x|,\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर ह्गसमान और $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में निरंतर वर्धमान है।