Dr.Harswaroop Sharma Mathematics Solution Class 12 Chapter 1 संबंध तथा फलन (Relations and Functions) Exercise 1L

प्रश्नावली - 1L

प्रत्येक प्रश्न के वार उत्तर दिए है, सही उत्तर छँटिए।

Question 1

1. यदि $(a+3, b-5)=(3,0)$ तो $a$ तथा $b$ के मान होंगे-

(A) 1,2

(B) $-1,3$

(D) इनमें से कोई नहीं।

Question 2

2. यदि $A \times B=\{(1,4),(2,3),(3,5),(4,2),(2,3),(4,5)\}$, तो समुच्चय $A$ होगा-

(A) $\{1,2\}$

(B) $\{1,2,3\}$

Question 3

3. यदि $R=\{(2,2),(3,3),(4,3),(2,4)\}$ में प्रान्त होगा-

(D) $\{1,3,5\}$.

(A) $\{1,2,3,4\}$

(B) $\{2,3,4\}$

(D) $\{3,4\}$.

Question 4

यदि $f: R \rightarrow R$ तथा $g: R \rightarrow R$ दो प्रतिचित्रण हैं जो $f(x)=2 x$ और $g(x)=x^2+2$ से परिभाषित है, तो $(fog) 2$ का मान होगा-

(A) 4

(B) 6

(D) 10 .

Question 5

5. $\{(a, 1),(b, 1),(c, 1),(d, 1)\}$ प्रतिचित्रण होगा-

(A) अचर प्रतिचित्रण

(B) बहु एक प्रतिचित्रण

(D) बहु एक आच्छादक प्रतिचित्रण।

Question 6

6. मान लीजिए कि $f: {R} \rightarrow{R}, f(x)=x^4$ द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।

(A) $f$ एकैकी आच्छादक है

(B) $f$ बहुएक आच्छादक है

(D) $f$ न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

Question 7

7. मान लीजिए कि $f(x)=3 x$ द्वारा परिभाषित फलन $f: {R} \rightarrow {R}$ है सही उत्तर चुनिए :

(A) $f$ एकैकी आच्छादक है

(B) $f$ बहुएक आच्छदक है

(D) $f$ न तो एकैकी है और न आच्छादक है

Question 8

8. यदि ${A}=\{1,2,3\}$ हो तो ऐसे संबंध जिनमें अवयव $(1,2)$ तथा $(1,3)$ हों और जो स्वतुल्य तथा सममित हैं किंतु संक्रामक नहीं है, की संख्या है-

(A) 1

(B) 2

(D) 4

Question 9

9. यदि ${A}=\{1,2,3\}$ हो तो अवयव $(1,2)$ वाले तुल्यता संबंधों की संख्या है।

(A) 1

(B) 2

(D) 4

Question 10

10. समुच्चय $\{a, b\}$ में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है-

(A) 10

(B) 16

(D) 8 .

Question 11

यदि $f: {R} \rightarrow {R}, f(x)=(3-x^3)^{\frac{1}{3}}$, द्वारा प्रदत्त है, तो $fof(x)$ बराबर है।

(A) $x^{1 / 3}$

(B) $x^3$

(D) $(3-x^3)$

Question 12

मान लीजिए कि $f(x)=\frac{4 x}{32+4}$ द्वारा परिभाषित एक फलन $f:{R}-\{-\frac{4}{3}\} \rightarrow {R}$ है। $f$ का प्रतिलोम, अर्थात् प्रतिचित्र (Map) $g$ : परिसर $f \rightarrow {R}-\{-\frac{4}{3}\}$, निम्नलिखित में से किसके द्वारा प्राप्त होगा :

(A) $g(y)=\frac{3 y}{3-4 y}$

(B) $g(y)=\frac{4 y}{4-3 y}$

(D) $g(y)=\frac{3 y}{4-3 y}$

Question 13

13. यदि ${A}=\{3,4\}, {B}=\{4,5\}, {C}=\{5,8\}$, तो ज्ञात करो-

(i) $({A} \times {B}) \cup({A} \times {C})$

(ii) $({A} \times {B}) \cap({A} \times {C})$.

Question 14

14. निम्नलिखित सम्बन्धों के प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए :

(i) $\{(-1,0),(1,1),(1,-1),(0,2)\}$

(ii) $\{(x, y),(x, z),(0, z),(-x,-y)\}$.

Question 15

15. निम्नलिखित सम्बन्धों में से कौन-से सम्बन्ध फलन हैं ?

(i) $\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)\}$

(ii) $\{(x, 1),(y, 2),(z, 3),(0,4)\}$.

Question 16

16. यदि फलन $f: {R} \rightarrow {R}, f(x)=\sin x$ से परिभाषित हो और फलन $g: {R} \rightarrow {R}, g(x)=x^2$ तो सिद्ध कीजिए कि $gof \neq fog$.

Question 17

17. यदि $f: {R} \rightarrow {R}$, जहाँ $f(x)=x^2$ तथा $g: {R} \rightarrow {R}, g(x)=2 x+5$, तो सिद्ध कीजिए कि $gof \neq fog$.

Question 18

18. यदि $f: {R} \rightarrow {R}$, जहाँ $f(x)=2 x+3$ से दिया हो और फलन $g: {R} \rightarrow {R}, g(x)=x^2+1$ से दिया हो, तो $(gof) x$ तथा $(fog) x$ ज्ञात करो।

Question 19

19. यदि $f: {R} \rightarrow {R}$, तथा $g: {R} \rightarrow {R}$, दो फलन हैं जो $f(x)=2 x$ और $g(x)=x^2+2$ से परिभाषित हैं, तो सिद्ध कीजिए कि

(i) $fog \neq gof$

(ii) $(fog)(2)$ तथा $(gog)(1)$ के मान बताओ।

Question 20

20. $a^* b=a^3+b^3$ प्रकार से परिभाषित ${N}$ में एक द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए। अब निम्नलिखित में से सही उत्तर का चयन कीजिए।

(A) * साहचर्य तथा क्रमविनिमेय दोनों है

(B) * क्रमविनिमेय है किंतु साहवर्य नहीं है

(D) * न तो क्रमविनिमेय है और न साहवर्य है

Question 21

21. मान लीजिए कि $f:{R} \rightarrow {R}, f(x)=10 x+7$ द्वारा परिभाषित फलब है। एक ऐसा फलन $g: {R} \rightarrow {R}$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $gof=fog=1_R$ हो।

Question 22

22. मान लीजिए कि $f: {W} \rightarrow {W}, f(n)=n-1$, यदि $n$ विषम है तथा $f(n)=n+1$, यदि $n$ सम है, द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए। यहाँ W समस्त पूर्णांकों का समुच्चय है।

Question 23

23. यदि $f:{R} \rightarrow {R}$ जहॉँ $f(x)=x^2-3 x+2$ द्वारा परिभाषित है तो $f(f(x))$ ज्ञात कीजिए।

Question 24

24. सिद्ध कीजिए कि $f: {R} \rightarrow\{x \in {R}:-1<x<1\}$ जहाँ $f(x)=\frac{x}{1+|x|}, x \in {R}$ द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।

Question 25

25. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=x^3$ द्वारा प्रदत्त फलन $f:{R} \rightarrow {R}$ एकैक (Injective) है।

Question 26

26. दो फलनों $f: {N} \rightarrow {Z}$ तथा $g: {Z} \rightarrow {Z}$ के उदाहरण दीजिए जो इस प्रकार हों कि, $g$ of एकैक है परंतु $g$ एकैक बहीं है।

Question 27

27. दो फलनों $f: {N} \rightarrow {N}$ तथा $g: {N} \rightarrow {N}$ के उदाहरण दीजिए, जो इस प्रकार हों कि, $g$ of आच्छादक है किंतु $f$ आम्छदक नहीं है।

Question 28

28. एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया हुआ है। $P(X)$ जो कि $X$ के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से $P(X)$ में एक संबंध $R$ परिभाषित कीजिए :
$P(X)$ में उपसमुच्चयों $A, B$ के लिए, $A R B$, यदि और केवल यदि $A \subset B$ है। क्या $R, P(X)$ में एक तुल्यता संबंध है ? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।

Question 29

29. किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय $X$ के लिए एक द्विआधारी संक्रिया * : $P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ पर विचार कीजिए, जो ${A}^* {~B}={A} \cap {B}, \forall {A}, {B} \in {P}({X})$ द्वारा परिभाषित है, जहाँ ${P}({X})$ समुच्चय X का घात समुच्चय (Power set) है। सिद्ध कीजिए कि इस संक्रिया का तत्समक अवयव $X$ है तथा संक्रिया $*$ के लिए $P(X)$ में केवल $X$ व्युत्क्रमणीय अवयव है।

Question 30

30. समुच्चय $\{1,2,3, ....... n\}$ से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Question 31

31. $a * b=|a-b|$ तथा $aob=a, \forall a, b \in {R}$ द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं $*: {R} \times {R} \rightarrow {R}$ तथा ${o}: {R} \times {R} \rightarrow {R}$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि * क्रम विनिमेय है परंतु साहचर्य नहीं है, $o$ साहचर्य है परंतु क्रम विलिमेय बही है। पुनः सिद्ध कीजिए कि सभी $a, b, c \in {R}$ के लिए $a^*(boc)=(a^* b)o(a^* b)$ है। [यदि ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि संक्रिया * संक्रिया o पर वितरित (Distributes) होती है।] क्या $o$ संक्रिया * पर वितरित होती है ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

Question 32

32. किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय $X$ के लिए मान लीजिए कि * : $P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$, जहाँ $A * B=(A-B) \cup(B-A)$, $\forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय $\phi$, संक्रिया $*$ का तत्समक है तथा $P(X)$ के समस्त अवयव A व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि ${A}^{-1}={A}$.

Question 33

33. निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय $\{0,1,2,3,4,5\}$ में एक द्विआधारी संक्रिया * परिभाषित कीजिए
$a^* b=a+b$ यदि $a+b<6 a+b-6,$ यदि $a+b \geq 6$
सिद्ध कीजिए कि शून्य $(0)$ इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्वय का प्रत्येक अवयव $a$ व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि $6-a, a$ का प्रतिलोम है।

Question 34

34. मान लीजिए कि ${A}=\{-1,0,1,2\}, {B}=\{-4,-2,0,2\}$ और $f, g: {A} \rightarrow {B}$, क्रमशः $f(x)=x^2-x, x \in {~A}$ तथा $g(x)=2|x-\frac{1}{2}|-1, x \in {~A}$ द्वारा परिभाषित फलन हैं। क्या $f$ तथा $g$ समान हैं ? अपने उत्तर का औवित्य भी बतलाइए।

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प्रश्नावली - 1L

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