Dr.Harswaroop Sharma Mathematics Solution Class 12 Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives) Exercise 6G

   

प्रश्नावली - 6G

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Question 1

1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए :
(i) $f(x)=(2 x-1)^2+3$
(ii) $f(x)=9 x^2+12 x+2$

(iii) $f(x)=-(x-1)^2+10$

(iv) $g(x)=x^3+1$

(v) $f(x)=|x+2|-1$

(vi) $g(x)=-|x+1|+3$

(vii) $h(x)=\sin 2 x+5$

(viii) $f(x)=|\sin 4 x+3|$

(ix) $h(x)=x+1, x \in(-1,1)$

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Question 2

2. निम्नलिखित फलनों का उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए :
(i) $a x+\frac{b}{x}$
(ii) $(x+1)(x-2)^2$

(iii) $\frac{1}{x^2+2}$

(iv) $x^3-6 x^2+9 x+15$

(v) $2-3 x+x^2$

(vi) $x \sqrt{ } 1-x ; 0<x<1$

(vii) $\sin x+\cos 2 x$

(viii) $3 x^4-10 x^3+6 x^2+5$

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Question 3

3. $x$ के किन मानों के लिए निम्नलिखित फलन उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ हैं ?
(i) $f(x)=x^2$
(ii) $g(x)=x^3-3 x$

(iii) $h(x)=\sin x+\cos x, 0<x<\frac{\pi}{2}$

(iv) $f(x)=\sin x-\cos x, 0<x<2 \pi$

(v) $g(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}, x>0$

(vi) $x^3-3 x+4$

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Question 4

4. निम्न फलन $x$ के किज मानों पर उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है ? फलन के मानों को भी ज्ञात कीजिए :
(i) $3 x^2-x+3$
(ii) $2 x^3-15 x^2+36 x+6$

(iii) $3 x^4-10 x^3+6 x^2+5$.

(iv) $x(5-x)$

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Question 5

5. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम माज नहीं है :
(i) $f(x)=e^x$
(ii) $g(x)=\log x$
(iii) $h(x)=x^3+x^2+x+1$

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Question 6

6. (a) सिद्ध कीजिए कि फलन $x^3-3 x^2+6 x+7$ का कोई उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान नहीं है।
Sol :

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Question 7

7. यदि फलब $x y(y-x)=2 a^3$ तो सिद्ध कीजिए कि $y$ का मान निम्निष्ठ है जब $x=a$ हो।

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Question 8

8. (a) यदि लाभ फलन $p(x)=41-72 x-18 x^2$ से प्रदत्त है तो किसी कम्पनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।

8. (b) अन्तराल $[0,3]$ पर $3 x^4-8 x^3+12 x^2-48 x+25$ के उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

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Question 9

9. (a) अन्तराल $[0,2 \pi]$ के किज बिन्दुओं पर फलन $\sin 2 x$ अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है ?
(b) फलन $\sin x+\cos x$ का उच्चतम मान क्या है ?
(c) $x e^{-x}$ का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिए।

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Question 10

10. (a) दिखाइए कि $x=\frac{1}{e}$ के लिए फलन $x^x$ निम्निष्ठ है।
(b) दिखाइए कि $x=-\frac{2}{3}$ पर $9 x^5+30 x^4+35 x^3+15 x^2+1$ उच्चिष्ठ है और $x=0$ पर निम्निष्ठ है ।

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Question 11

11. प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए :
(i) $f(x)=x^3, x \in[-2,2]$
(ii) $f(x)=\sin x+\cos x, x \in[0, \pi]$
(iii) $f(x)=4 x-\frac{1}{2} y^2, x \in\left[-2, \frac{9}{2}\right]$
(iv) $f(x)=(x-1)^2+3, x \in[-3,1]$

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Question 12

12. दिखाइए कि $\frac{1-x+x^2}{1+x-x^2}, x=\frac{1}{2}$ पर निम्निष्ठ है तथा इसका कोई उच्चिष्ठ मान नहीं है।

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Question 13

13. (a) दिखाइए कि $x=e$ पर फलन $x^{1 / x}$ का मान निम्निष्ठ है।
(b) दिखाइए कि $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$ पर फलन $x^2 \log \frac{1}{x}$ उच्चिष्ठ है।

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Question 14

14. तंरगदैर्ध्य $\lambda$ की तरंग वेग पानी में $\sqrt{\frac{\lambda}{a}+\frac{a}{\lambda}}$ के समानुपाती है, जहाँ $a$ कोई अचर मान है। सिद्ध कीजिए कि $\lambda=a$ पर तरंग वेग का मान निम्निष्ठ होगा।

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Question 15

15. $x=1$ पर फलन $x^3+a x^2+b x+c$ का मान उच्चिष्ठ है तथा $x=3$ पर निम्निष्ठ है। अचर $a, b$ तथा $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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Question 16

16. अंतराल $[1,3]$ में $2 x^3-24 x+107$ का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अन्तराल $[-3,-1]$ में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।

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Question 17

17. यदि दिया है कि अंतराल $[0,2]$ में $x=1$ पर फलन $x^4-62 x^2+a x+9$ उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।