प्रश्नावली - 4G
निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर का चुनाव कीजिए :
Question 1
1. यदि $\left|\begin{array}{ll}x & 2 \\ 18 & x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}6 & 2 \\ 18 & 6\end{array}\right|$ हो, तो $x$ बराबर है :
(A) 6
(B) $\pm 6$
(C) -6
(D) 0 .
Question 2
2. यदि A एक $3 \times 3$ कोटि का वर्ग आव्यूह है, तो $|k \mathrm{~A}|$ का मान होगा :
(A) $k|\mathrm{~A}|$
(B) $k^2|\mathrm{~A}|$
(C) $k^3|\mathrm{~A}|$
(D) $3 k|\mathrm{~A}|$.
Question 3
3. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है :
(A) सारणिक एक वर्ग आव्यूह है।
(B) सारणिक एक आव्यूह से संबद्ध एक संख्या है।
(C) सारणिक एक वर्ग आव्यूह से संबद्ध एक संख्या है।
(D) इनमें से कोई नही।
Question 4
4. यदि शीर्ष $(2,-6),(5,4)$ और $(k, 4)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो, तो $k$ का मान है :
(A) 12
(B) -2
(C) $-12,-2$
(D) $12,-2$.
Question 5
5. यदि $\Delta=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$ और $a_{i j}$ का सहखण्ड $\mathrm{A}_{i j}$ हो, तो $\Delta$ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है
(A) $a_{11} \mathrm{~A}_{31}+a_{12} \mathrm{~A}_{32}+a_{13} \mathrm{~A}_{33}$
(B) $a_{11} \mathrm{~A}_{11}+a_{12} \mathrm{~A}_{21}+a_{13} \mathrm{~A}_{31}$
(C) $a_{21} \mathrm{~A}_{11}+a_{22} \mathrm{~A}_{12}+a_{23} \mathrm{~A}_{13}$
(D) $a_{11} \mathrm{~A}_{11}+a_{21} \mathrm{~A}_{21}+a_{31} \mathrm{~A}_{31}$
Question 6
6. यदि $\mathrm{A}, 3 \times 3$ कोटि का वर्ग आव्यूह है, तो $|\operatorname{adj} \mathrm{A}|$ का मान है :
(A) $|\mathrm{A}|$
(B) $|\mathrm{A}|^2$
(C) $|A|^3$
(D) $3|\mathrm{~A}|$.
Question 7
7. यदि A कोटि दो का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)$ बराबर है :
(A) $\operatorname{det}(\mathrm{A})$
(B) $\frac{1}{\operatorname{det}(\mathrm{~A})}$
(C) 1
(D) 0 .
Question 8
8. यदि $a, b, c$ समान्तर श्रेढ़ी में हों, तो सारणिक $\left|\begin{array}{lll}x+2 & x+3 & x+2 a \\ x+3 & x+4 & x+2 b \\ x+4 & x+5 & x+2 c\end{array}\right|$ का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) $x$
(D) $2 x$.
Question 9
9. यदि $x, y, z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हों, तो आव्यूह $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम है :
(A) $\left[\begin{array}{ccc}x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1}\end{array}\right]$
(B) $x y z\left[\begin{array}{ccc}x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1}\end{array}\right]$
(C) $\frac{1}{x y z}\left[\begin{array}{lll}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right]$
(D) $\frac{1}{x y z}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
Question 10
10. यदि $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right]$, जहाँ $0 \leq \theta \leq 2 \pi$ हो, तो :
(A) $\operatorname{det}(A)=0$
(B) $\operatorname{det}(\mathrm{A}) \varepsilon(2, \infty)$
(C) $\operatorname{det}(\mathrm{A}) \varepsilon(2,4)$
(D) $\operatorname{det}(\mathrm{A}) \varepsilon[2,4]$
Question 11
11. सिद्ध कीजिए कि सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|, \theta$ से स्वतन्त्र है।
Question 12
12. सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि
$\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & b c \\ b & b^2 & c a \\ c & c^2 & a b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3\end{array}\right|$.
Question 13
13. $\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Question 14
14. यदि $a, b$ और c वास्तविक संख्याएँ हों और सारणिक $\Delta=\left|\begin{array}{lll}b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a\end{array}\right|=0$ हो, तो दर्शाइए कि या तो $a+b+c=0$ या $a=b=c$ है।
Question 15
15. यदि $a \neq 0$ हो तो समीकरण $\left|\begin{array}{ccc}x+a & x & x \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a\end{array}\right|=0$ को हल कीजिए।
Question 16
सिद्ध कीजिए कि :
16. $\left|\begin{array}{ccc}-a^2 & a b & a c \\ a b & -b^2 & b c \\ a c & b c & -c^2\end{array}\right|=4 a^2 b^2 c^2$.
Question 17
सिद्ध कीजिए कि :
17. $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right|=(b-c)(c-a)(a-b)(a+b+c)$.
Question 18
सिद्ध कीजिए कि :
18. $\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|=0$
Question 19
सिद्ध कीजिए कि :
19. $\left|\begin{array}{lll}x+a & x+2 a & x+3 a \\ x+2 a & x+3 a & x+4 a \\ x+4 a & x+5 a & x+6 a\end{array}\right|=0$.
Question 20
सिद्ध कीजिए कि :
20. $\left|\begin{array}{ccc}a^2 & b c & a c+c^2 \\ a^2+a b & b^2 & a c \\ a b & b^2+b c & c^2\end{array}\right|=4 a^2 b^2 c^2$.
Question 21
Question 21
21. यदि $A, B, C$ किसी त्रिभुज के कोण हों, तो सिद्ध कीजिए
$\left|\begin{array}{ccc}-1 & \cos C & \cos B \\ \cos C & -1 & \cos A \\ \cos B & \cos A & -1\end{array}\right|=0$.
Question 22
सिद्ध कीजिए :
22. $\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^3$.
Question 23
सिद्ध कीजिए :
23. $\left|\begin{array}{ccc}x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ y z & z x & x y\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x^3 & y^3 & z^3\end{array}\right|=(y-z)(z-x)(x-y)(y z+z x+x y)$
Question 24
सिद्ध कीजिए :
24. $\left|\begin{array}{ccc}b-c & c-a & a-b \\ c & a & b \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=(b-c)(a-b)-(c-a)^2$.
Question 25
सिद्ध कीजिए :
25. $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c & c+a & a+b\end{array}\right|=a^3+b^3+c^3-3 a b c$.
Question 26
सिद्ध कीजिए :
26. $\left|\begin{array}{lll}\alpha & \alpha^2 & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^2 & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^2 & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$.
Question 27
सिद्ध कीजिए :
27. $\left|\begin{array}{lll}x & x^2 & 1+p x^3 \\ y & y^2 & 1+p y^3 \\ z & z^2 & 1+p z^3\end{array}\right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x)$.
Question 28
सिद्ध कीजिए :
28. $\left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right|=3(a+b+c)(a b+b c+c a)$.
Question 29
सिद्ध कीजिए :
29. $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q\end{array}\right|=1$.
Question 30
सिद्ध कीजिए :
30. $\left|\begin{array}{lll}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta)\end{array}\right|=0$.
Question 31
31. यदि $a>0, b>0, c>0$ किसी गुणोत्तर श्रेढी के क्रमशः $p$ वें, $q$ वें, $r$ वें पद हों, तो सिद्ध कीजिए कि
$\left|\begin{array}{lll}\log a & p & 1 \\ \log b & q & 1 \\ \log c & r & 1\end{array}\right|=0$
Question 32
32. यदि किसी हरात्मक श्रेढी के $p$ वें, $q$ वें तथा $r$ वें पद क्रमशः $a, b$ तथा $c$ हों, तो सिद्ध कीजिए कि-
$\left|\begin{array}{ccc}b c & c a & a b \\ p & q & r \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=0$.
Question 33
33. यदि किसी धनात्मक पदों की गुणोत्तर श्रेढी का $p$ वाँ पद $T_p$ हो, तो सिद्ध कीजिए कि
$\left|\begin{array}{lll}\log T_{p+1} & \log T_{P+3} & \log T_{p+5} \\ \log T_{p+3} & \log T_{p+5} & \log T_{p+7} \\ \log T_{p+5} & \log T_{p+7} & \log T_{p+9}\end{array}\right|=0$
Question 34
Question 35
Question 36
Question 37
$\left|\begin{array}{ccc}x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4\end{array}\right|=0$
Question 38
Question 39
Question 40
40. यदि $a+b+c=0$ हो, तो निम्न सारणिक को हल कीजिए :
$\left|\begin{array}{ccc}a-x & c & b \\ c & b-x & a \\ b & a & c-x\end{array}\right|=0$
Question 41
41. यदि $x, y, z$ विभिन्न हों और $\Delta=\left|\begin{array}{lll}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$ तो दर्शाइए कि $1+x y z=0$.
Question 42
Question 43
(i) $(\operatorname{adj} A)^{-1}=\operatorname{adj}\left(A^{-1}\right)$
(ii) $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
Question 44
$\begin{aligned} & \frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}=4 \\ & \frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}=1 \\ & \frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}=2\end{aligned}$
No comments:
Post a Comment