प्रश्नावली - 1J
Question 1
1. फलन $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$, जहाँ $f(x)=x^2+1$, तो $f^{-1}(-5)$ तथा $f^{-1}(26)$ के मान ज्ञात कीजिए।
Question 2
2. माना $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, f(x)=4 x-5$, द्वारा परिभाषित है, तो $f^{-1}(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।
Question 3
3. यदि $f: \mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{Q}, f(x)=6 x+7$, से परिभाषित है, $x \in \mathrm{Q}$ और Q परिमेय संख्याओं का समुच्चय हो, तो $f^{-1}(y)$ ज्ञात करो।
Question 4
4. यदि $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, f(x)=x^2+4$, से परिभाषित हो, तो $f^{-1}(40), f^{-1}(8,20)$ ज्ञात करो।
Question 5
5. मान लीजिए कि, $f, g$ तथा $h, \mathrm{R}$ से R तक दिए फलन हैं। सिद्ध कीजिए कि
$\begin{aligned} & (f+g) o h=f o h+g o h \\ & (f \cdot g) o h=(f o h) \cdot(g o h)\end{aligned}$
Question 6
6. $g o f$ तथा $f o g$ ज्ञात कीजिए, यदि
(i) $f(x)=|x|$ तथा $g(x)=|5 x-2|$
(ii) $f(x)=8 x^3$ तथा $g(x)=x^{1 / 3}$.Question 7
7. तीन फलन $f: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}, g: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}$ तथा $h: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}$ पर विवार कीजिए, जहाँ $f(x)=2 x, g(y)=3 y+4$ तथा $h(z)=\sin z, \forall x, y$ तथा $z \in \mathrm{~N}$. सिद्ध कीजिए कि $h o(g \circ f)=(h \circ g) \circ f$.
Question 8
8. यदि फलन $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, f(x)=e^x$ से परिभाषित हो, $x \in \mathrm{R}$, और $g: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, g(y)=\sin y$ से परिभाषित हो, $y \in \mathrm{R}$ तो $(g \circ f)(x)$ ज्ञात करो।
Question 9
9. मान लीजिए कि $f:\{1,3,4\} \rightarrow\{1,2,5\}$ तथा $g:\{1,2,5\} \rightarrow\{1,3\}, f=\{(1,2),(3,5),(4,1)\}$ तथा $g=\{(1,3)$, $(2,3),(5,1)\}$ द्वारा प्रदत्त हैं। gof ज्ञात कीजिए।
Question 10
10. कारण सहित बतलाइए कि क्या निम्नलिखित फलनों के प्रतिलोम हैं :
(i) $f:\{1,2,3,4\} \rightarrow\{10\}$ जहाँ $f:\{(1,10),(2,10),(3,10),(4,10)\}$
(ii) $g:\{5,6,7,8\} \rightarrow\{1,23,4\}$ जहाँ $g:\{(5,4),(6,3),(7,4),(8,2)\}$
(iii) $h:\{2,3,4,5\} \rightarrow\{7,9,11,13\}$ जहाँ $h=\{(2,7),(3,9),(4,11),(5,13)\}$
Question 11
11. सिद्ध कीजिए कि $f:[-1,1] \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{x}{x+2}$, द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है। फलन $f:[-1,1] \rightarrow(f$ का परिसर), का प्रतिलोम फलन ब्रात कीजिए।
Question 12
12. $f(x)=4 x+3$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ पर विवार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।
Question 13
13. $f(x)=x^2+4$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: \mathbf{R}_{+} \rightarrow[4, \infty)$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है तथा $f$ का प्रतिलोम $f^{-1}, f^{-1}(y)=\sqrt{y-4}$, द्वारा प्राप्त होता है, जहाँ $\mathbf{R}_{+}$सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
Question 14
14. $f(x)=9 x^2+6 x-5$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: \mathbf{R}_{+} \rightarrow[-5, \infty)$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है तथा $f^{-1}(y)=\left(\frac{(\sqrt{y+6})-1}{3}\right)$ है।
Question 15
15. मान लीजिए कि $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f$ का प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है।
Question 16
16. $f:\{1,2,3\} \rightarrow\{a, b, f\}, f(1)=a, f(2)=b$ तथा $f(3)=c$, द्वारा प्रदत्त फलन $f$ पर विचार कीजिए। $f^{-1}$ ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ है।
Question 17
17. मान लीजिए कि $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f^{-1}$ का प्रतिलोम $f$, है अर्थात् $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ है।
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