प्रश्नावली - 1K
Question 1
1. मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया $*, a * b=a$ तथा $b$ का LCM द्वारा परिभाषित है। $3 * 5$ का मान ज्ञात कीजिए।
Question 2
2. मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया ${ }^*, a^* b=a$ तथा $b$ का HCF द्वारा परिभाषित है, तो $20^* 16$ का मान ज्ञात कीजिए।
Question 3
3. यदि पूर्णांक $Z$ के समुन्चय में एक द्विआधारी संक्रिया ${ }^*, a * b=a+3 b^2$ द्वारा परिभाषित है, तो $2 * 4$ का मान ज्ञात कीजिए।
Question 4
4. मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया ${ }^*, a^* b=a$ तथा $b$ का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) $5 * 7,20 * 16$
(ii) क्या संक्रिया * क्रमविनिमेय है ?
(iii) क्या * साहचर्य है ?
(iv) N में * का तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।
(v) N के कौन से अवयव * संक्रिया के लिए व्युत्क्रमणीय हैं ?
Question 5
5. अगलिखित परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविलिमेय है तथा क्या * साहचर्य है :
(i) $a^* b=a+a b ; a, b \in \mathrm{Q}$
(ii) $a * b=\frac{a b}{4} ; a, b \in \mathrm{Q}$
(iii) $a * b=a^2+b^2 ; a, b \in \mathrm{Q}$
(iv) $a * b=(a-b)^2 ; a, b \in \mathrm{Q}$
(v) $a * b=a b^2$
(vi) $a * b=2^{a b}$
(vii) $a * b=\frac{a}{b+1}$
Question 6
6. निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित प्रत्येक संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या बही। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।
(i) $\mathbf{Z}^{+}$में, $a * b=a-b$ द्वारा परिभाषित संक्रिया *
(ii) $\mathbf{Z}^{+}$में, $a * b=a b$ द्वारा परिभाषित संक्रिया *
(iii) $\mathbf{R}$ में, संक्रिया ${ }^*, a * b=a b^2$ द्वारा परिभाषित
(iv) $\mathbf{Z}^{+}$में, संक्रिया ${ }^*, a^* b=|a-b|$ द्वारा परिभाषित
Question 7
7. समुन्चय $\{1,2,3,4,5\}$ में $a \wedge b=$ निम्नतम $\{a, b\}$ द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया पर विचार कीजिए। संक्रिया । के लिए संक्रिया सारणी लिखिए।
Question 8
8. समुच्चय $\{1,2,3,4,5\}$ में, निम्बलिखित संक्रिया सारणी द्वारा परिभाषित, द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए तथा
(i) $(2 * 3) * 4$ तथा $2 *(3 * 4)$ का परिकलन कीजिए।
(ii) क्या * क्रमविनिमेय है ?
(iii) $(2 * 3) *(4 * 5)$ का परिकलन कीजिए।
(संकेत : निम्न सारणी का प्रयोग कीजिए।)
Question 9
9. मान लीजिए कि समुच्चय $\{1,2,3,4,5\}$ में एक द्विआधारी संक्रिया *, $a^* b=a$ तथा $b$ का HCF द्वारा परिभाषित है। क्या संक्रिया * उर्पयुक्त प्रश्न 8 में परिभाषित संक्रिया * के समान है ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलइए।
<image to be added>
https://youtu.be/RB6Ym5pbXz8?list=PLiJhhkRbJZuyTZ-ee4M88eFolFskEx3qS&t=692
Question 10
10. क्या समुच्चय $\{1,2,3,4,5\}$ में $a^* b=a$ तथा $b$ का LCM द्वारा परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
Question 11
11. मान लीजिए कि N में $a * b=a$ तथा $b$ का HCF द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। क्या $*$ क्रसविनिमेय है ? क्या * साहवर्य है ? क्या N में इस द्विआधारी संक्रिया के तत्समक का अस्तित्व है ?
Question 12
12. मान लीजिए कि ${A}={N} \times {N}$ है तथा A में $(a, b)^*(c, d)=(a+c, b+d)$ द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है । सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय तथा साहचर्य है। A में * का तत्समक अवयव, यदि कोई है, तो ज्ञात कीजिए।
Question 13
13. बतलाइए कि क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं। औचित्य भी बतलाइए।
(i) समुच्चय N में किसी भी स्वेच्छ द्विआधारी संक्रिया * के लिए $a^* a=a, \forall a \in {~N}$
(ii) यदि N में * एक क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है, तो $a^*(b^* c)=(c^* b)^* a$
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