Exercise 6A
Question 1
किसी क्षण t पर एक कण की स्थिति x=4t2-15t+20 मीटर से व्यक्त की गयी है। इससे शून्य समय पर कण की स्थिति वेग और त्वरण ज्ञात कीजिए।
Sol :
वेग=$v=\frac{dx}{dt}$
त्वरण=$a=\frac{dv}{dt}$
x=4t2-15t+20
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
वेग=$v=\frac{d x}{d t}=8 t-15$
त्वरण=$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=8$
x=4t2-15t+20
$x=4 (0)^{2}-15(0)+20$
x=20
वेग=$v=\frac{d x}{d t}=8t-15$
=8(0)-15=-15 मी०/से०
त्वरण=$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=8$मी०/से०
Question 2
वृत्त के क्षे० के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ज्ञात कीजिए
जबकि
(a) r=3 cm
(b) r=4 cm
Sol :
वृत्त का क्षे० (A)=𝜋r2
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{dA}{dr}=\pi \times 2r$
=𝜋2r
(a) r=3 cm
$\left[\frac{dA}{dr}\right]_{r=3}=\pi \times 2r$
=𝜋2(3)
=6𝜋 cm2/cm
(b) r=4 cm
$\left[\frac{dA}{dr}\right]_{r=3}=\pi \times 2r$
=𝜋2(4)
=8𝜋 cm2/cm
Question 3
एक घन का आयतन 8 cm3/sec की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है, जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12cm है।
Sol :
दिया है :
$\frac{dv}{dt}=8$ cm3/sec
किनारे की लम्बाई 12cm
माना एक घन का आयतन v तथा पृष्ठ क्षेत्रफल (s) है जिसकी भुजा a है।
∵v=a3
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
∵s=6a2
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
Question 4
एक वृत्त की त्रिजया समान रुप से 3cm/sec की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षे○ किस दर से बढ़ रहा है। जब त्रिजया 10 cm है?
Sol :
दिया है:
$\frac{dr}{dt}$=.3 cm/sec
A=𝜋r2
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$frac{da}{dt}=2\pi r.\frac{dr}{dt}$
=2𝜋r×3
$frac{dA}{dt}=2\pi \times 3$
=60𝜋 c𝜋r2/sec
Question 5
एक परिवरतन घन का किनारा 3 cm/sec से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है। जबकि किनारा 10 cm लम्बा है।
Sol :
माना घन का आयतन v तथा भुजा a है।
दिया है:
$\frac{da}{dt}=3$cm/sec
a=10 cm
∵v=a3
$\frac{dv}{dt}=3a^2\times \frac{da}{dt}$
$\frac{dv}{dt}=3a^2\times 3$
$\left[\frac{dv}{dt}\right]_{a=10}=3(10)^2\times 3$
$\left[\frac{dv}{dt}\right]$=900 cm3/sec